1. Все рёбра тетраэдра ABCD равны. Через сторону AB проведена плоскость, перпендикулярная ребру CD. Найдите величину двугранного угла, образованного этой плоскостью с плоскостью грани ABC. 2. На рисунке A и B — точки ребра двугранного угла, равного 120°, AC и BD — отрезки прямых, перпендикулярных ребру двугранного угла, проведённые в разных гранях. Найдите расстояние CD, если AB = AC = BD = a.

1. Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна $a$. Пусть $M$ — середина ребра $CD$. В правильном тетраэдре медианы граней являются высотами, поэтому $AM \perp CD$ и $BM \perp CD$. Следовательно, плоскость $(ABM)$ перпендикулярна ребру $CD$. Это и есть искомая плоскость. Двугранный угол между плоскостью $(ABM)$ и гранью $(ABC)$ измеряется линейным углом $\angle MOK$, где $O$ — центр грани $ABC$, а $K$ — середина $AB$. Однако проще заметить, что угол между $(ABM)$ и $(ABC)$ — это угол между высотой тетраэдра $DO$ и апофемой (или высотой грани). В правильном тетраэдре угол $\alpha$ между плоскостью сечения, проходящего через ребро и перпендикулярного противолежащему ребру, и плоскостью грани вычисляется через прямоугольный треугольник. Пусть $K$ — середина $AB$. $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $MK$ — высота равнобедренного $\triangle CMD$ (или высота тетраэдра из $K$ на $CD$). Угол между $(ABM)$ и $(ABC)$ — это угол $\angle MKC$. В $\triangle MKC$: $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $MK = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (высота сечения), $MC = \frac{a}{2}$. По теореме косинусов в $\triangle MKC$: $MC^2 = MK^2 + CK^2 - 2 \cdot MK \cdot CK \cdot \cos(\angle MKC)$ $(\frac{a}{2})^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle MKC)$ $\frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} - \frac{2\sqrt{6}}{4} \cdot \cos(\angle MKC)$ $\frac{2\sqrt{6}}{4} \cos(\angle MKC) = 1$ $\cos(\angle MKC) = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$. $\angle MKC = \arccos(\frac{\sqrt{6}}{3})$. **Ответ: $\arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$** 2. Введём систему координат. Пусть ребро двугранного угла лежит на оси $Ox$. Точка $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$, точка $B$ — $(a, 0, 0)$. Отрезок $AC = a$ перпендикулярен ребру $AB$, пусть он лежит в плоскости $Oxy$. Тогда $C(0, a, 0)$. Отрезок $BD = a$ перпендикулярен ребру $AB$ и лежит в другой грани. Угол между гранями $120^\circ$. Координаты точки $D$: $x_D = a$ (так как проекция на ребро в точке $B$), $y_D = a \cos(120^\circ) = -\frac{a}{2}$, $z_D = a \sin(120^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Найдём расстояние $CD$ по формуле: $CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2}$ $CD = \sqrt{(a - 0)^2 + (-\frac{a}{2} - a)^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0)^2}$ $CD = \sqrt{a^2 + (-\frac{3a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2}$ $CD = \sqrt{a^2 + \frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2 + \frac{12a^2}{4}} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$. **Ответ: $2a$**