Ребро AB тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости BCD, AB = 10. В треугольнике BCD ∠B = 90°, ∠D = 30°, CD = 16. Найти расстояние от точки С до плоскости ABD; расстояние от точки D до прямой AB; угол между прямой AD и плоскостью ABC.

**Ответ: а) 8; б) 8\sqrt{3}; в) \sin \angle(AD, (ABC)) = \frac{4}{5} \text{ (или } 0,8\text{)}** **Решение:** а) Так как $AB \perp (BCD)$, то $AB \perp BC$ и $AB \perp BD$. Из условия $CB \perp BD$ (так как $\angle B = 90^\circ$ в $\triangle BCD$). Следовательно, прямая $CB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BD$) плоскости $ABD$. Значит, $CB \perp (ABD)$, и расстояние от точки $C$ до плоскости $ABD$ равно длине отрезка $CB$. В прямоугольном $\triangle BCD$ ($\angle B = 90^\circ$): $CB = CD \cdot \sin \angle D = 16 \cdot \sin 30^\circ = 16 \cdot 0,5 = 8$. б) Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ — это перпендикуляр из $D$ к $AB$. Так как $AB \perp (BCD)$, то $AB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $BD$. Значит, $DB \perp AB$, и искомое расстояние равно $BD$. В $\triangle BCD$: $BD = CD \cdot \cos \angle D = 16 \cdot \cos 30^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$. в) Угол между прямой $AD$ и плоскостью $ABC$ — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Так как $AB \perp (BCD)$, то высота тетраэдра из точки $A$ падает в точку $B$. Но нам нужна проекция на $(ABC)$. Заметим, что $DC$ не перпендикулярна $(ABC)$. Проще всего найти синус угла через отношение высоты, опущенной из $D$ на $(ABC)$, к гипотенузе $AD$. Поскольку $CB \perp (ABD)$ (доказано в п. а), то плоскость $ABC \perp ABD$. Проведем высоту $DH$ в $\triangle ABD$ к прямой $AB$. Но $AB \perp BD$, значит $BD$ и есть перпендикуляр из $D$ к $AB$. Однако, так как $AB \perp (BCD)$, то любая прямая в $(BCD)$ перпендикулярна $AB$. Расстояние от $D$ до плоскости $ABC$: так как $CB \perp (ABD)$, то $(ABC) \perp (ABD)$. Перпендикуляр из $D$ на плоскость $ABC$ упадет на прямую $AB$ (линию пересечения плоскостей). Но в плоскости $ABD$ мы уже знаем, что $DB \perp AB$. Значит, $DB$ — это перпендикуляр из $D$ к плоскости $ABC$. Искомый угол $\alpha = \angle DAB$. В прямоугольном $\triangle ABD$: $AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{10^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 192} = \sqrt{292} = 2\sqrt{73}$. $\sin \alpha = \frac{BD}{AD} = \frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{73}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{73}}$. **Допущение:** В пункте (в) под плоскостью $ABC$ обычно подразумевается основание, если чертеж перевернут, но согласно чертежу и условию $AB \perp (BCD)$, $A$ — вершина. Если искать угол между $AD$ и $(ABC)$, где $DB$ — перпендикуляр к плоскости: $\sin \angle(AD, (ABC)) = \frac{DB}{AD}$. Вычислим значения: $BD = 8\sqrt{3} \approx 13,85$ $AD = \sqrt{10^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 192} = \sqrt{292} \approx 17,09$ $\sin \alpha = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{292}} = \frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{73}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{73}}$.