Ребро DA тетраэдра DABC перпендикулярно плоскости ABC, AB = BC = AC = 8 см, BD = 4√7 см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники ABC и BCD.

**Ответ: 60^\circ** **Решение:** 1. Рассмотрим основание $ABC$. Так как $AB = BC = AC = 8$ см, треугольник $ABC$ — равносторонний. 2. Пусть $M$ — середина ребра $BC$. Тогда медиана $AM$ также является высотой ($AM \perp BC$). В равностороннем треугольнике высота $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. 3. По условию $DA \perp (ABC)$, значит $DA \perp AM$ и $DA \perp AB$. Отрезок $AM$ — это проекция наклонной $DM$ на плоскость $(ABC)$. Так как $AM \perp BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $DM \perp BC$. Следовательно, $\angle DMA$ — линейный угол двугранного угла между гранями $ABC$ и $BCD$. 4. Найдем $DA$ из прямоугольного $\triangle DAB$ по теореме Пифагора: $DA^2 = BD^2 - AB^2 = (4\sqrt{7})^2 - 8^2 = 16 \cdot 7 - 64 = 112 - 64 = 48$ $DA = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см. 5. В прямоугольном $\triangle DAM$ ($DA \perp AM$): $\text{tg}(\angle DMA) = \frac{DA}{AM} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 1$ Следовательно, $\angle DMA = 45^\circ$. **Допущение:** В ходе вычислений обнаружено, что $DA = AM$, что дает угол $45^\circ$. Перепроверим данные: $BD=4\sqrt{7}$, $AB=8$. $DA^2 = 112-64=48$. $AM = 4\sqrt{3}$, $AM^2 = 48$. Значит $\triangle DAM$ равнобедренный. **Ответ: 45^\circ**