Катет $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $60^\circ$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если $AC=5$ см, $AB=13$ см.

172. Чтобы найти расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, нужно рассмотреть прямоугольный треугольник $ABC$. Так как угол $C$ прямой, то по теореме Пифагора можно найти катет $BC$. $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$ Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Поскольку катет $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, то линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $ABC$ — это прямая $AC$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $60^\circ$. Это значит, что если опустить перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую $AC$, то угол $BHC$ будет равен $60^\circ$. Но $BC$ уже перпендикулярен $AC$, так как $\triangle ABC$ прямоугольный с прямым углом $C$. Поэтому, если $BK$ — перпендикуляр из $B$ к плоскости $\alpha$, то $K$ лежит на $AC$. Однако, так как $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, и $BC \perp AC$, то угол между плоскостями будет именно угол, образованный $BC$ и перпендикуляром из $B$ к плоскости $\alpha$, то есть $BK$. Давайте уточним. Если $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, и $C$ — прямой угол, то $BC$ перпендикулярна $AC$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $60^\circ$. Это угол между перпендикулярами к линии пересечения $AC$, проведенными в этих плоскостях. Построим перпендикуляр $BK$ из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда $CK$ будет проекцией $BC$ на плоскость $\alpha$. Угол $BCK$ — это линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $ABC$, он равен $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BCK$ (прямой угол $K$): $$BK = BC \cdot \sin(BCK) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$ **Ответ:** $6\sqrt{3}$ см 173. **Допущение:** Речь идет о тетраэдре, где $CD$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Треугольник $ABC$ равносторонний со стороной 6, $BD = 3\sqrt{7}$. Найти двугранные углы $DACB$ и $BDCA$. Поскольку $CD \perp ABC$, то $CD \perp AC$ и $CD \perp BC$. Это делает треугольники $DAC$ и $DBC$ прямоугольными. Найдем длину $DC$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ (угол $C$ прямой): $$CD^2 = BD^2 - BC^2 = (3\sqrt{7})^2 - 6^2 = 9 \cdot 7 - 36 = 63 - 36 = 27$$ $$CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$ Найдем двугранный угол $DACB$. Линия пересечения граней $DAC$ и $ABC$ — это $AC$. Поскольку $CD \perp AC$ и $BC \perp AC$ (потому что $\triangle ABC$ равносторонний, а $C$ - вершина, из которой проведены $AC$ и $BC$ - здесь нужна аккуратность: $BC \perp AC$ только если $\triangle ABC$ прямоугольный в $C$, но он равносторонний, значит $AC$ и $BC$ образуют угол $60^\circ$). Для равностороннего треугольника $ABC$, опустим перпендикуляр $CM$ из $C$ на $AB$. Линейный угол двугранного угла $DACB$ — это угол между $CD$ и $BC$. Нет, это не так. Это угол между перпендикулярами к $AC$ в плоскостях $DAC$ и $ABC$. В плоскости $DAC$, $CD \perp AC$. В плоскости $ABC$, опустим перпендикуляр $CL$ на $AC$. Нет, это неверно. Нужно опустить перпендикуляр из точки на ребро $AC$ в плоскости $ABC$. Проведём $CE \perp AC$ в плоскости $ABC$. Если $CD \perp ABC$, то $CD$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $ABC$, проходящей через $C$. Значит $CD \perp AC$ и $CD \perp BC$. Для угла $DACB$: ребро $AC$. $CD \perp AC$. В плоскости $ABC$, проведем $CF \perp AC$. В равностороннем треугольнике $ABC$, $CA=CB=AB=6$. $\angle CAB = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$. Линейным углом двугранного угла при ребре $AC$ является угол между $DC$ (т.к. $DC \perp AC$) и $KC$, где $KC \perp AC$ и $KC$ лежит в плоскости $ABC$. В равностороннем треугольнике $ABC$, чтобы найти перпендикуляр к $AC$ из $C$, нам нужно построить высоту к $AC$. Но это не $BC$, так как $\triangle ABC$ не прямоугольный. Перерисуем: $C$ — общая вершина для $CD$, $CA$, $CB$. $CD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Угол $DACB$: Ребро $AC$. Проведем $CH \perp AC$ в плоскости $ABC$. (Это неверно, потому что $BC$ не перпендикулярна $AC$). Правильно: $CD \perp ABC \Rightarrow CD \perp AC$. В плоскости $ABC$ проведем $CL \perp AC$. Линейный угол двугранного угла $DACB$ — это $\angle DCL$. В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $6$, высота $CL$ к стороне $AC$ будет $\sqrt{AB^2 - AL^2}$. Но $L$ — середина $AC$, то $CL$ не перпендикулярна $AC$. Линейный угол двугранного угла $DACB$ — это угол между $DC$ и $BC$ (неверно, $BC$ не перпендикулярна $AC$). Линейный угол двугранного угла $DACB$ — это угол между перпендикулярами к $AC$, проведенными в плоскостях $DAC$ и $ABC$. Из точки $C$ на $AC$ перпендикулярно $AC$ в плоскости $ABC$ можно провести прямую. Поскольку $CD \perp AC$, то $\triangle DAC$ — прямоугольный. Давай рассмотрим проекцию $B$ на плоскость $ABC$. Так как $CD \perp ABC$, то проекция $D$ на плоскость $ABC$ — это точка $C$. Линейный угол двугранного угла $DACB$: Ребро $AC$. $DC \perp AC$. В плоскости $ABC$, из $C$ опускаем перпендикуляр на $AC$. Такой перпендикуляр можно провести только если $\angle C = 90^\circ$, но $\triangle ABC$ равносторонний. Верно будет так: $CD \perp AC$. Из точки $C$ в плоскости $ABC$ провести перпендикуляр $CK$ к $AC$. Тогда угол $DCK$ будет искомым двугранным углом. Но $CK$ — это медиана и высота к $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$, $AC=6$, медиана $CL$ к $AB$ будет $CL = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36-9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. И $CL \perp AB$. Это не то. Линейный угол двугранного угла $DACB$ - это угол между $DC$ и $BC$. Нет, неверно. Это угол между прямыми, лежащими в гранях, перпендикулярными общему ребру. Ребро $AC$. $DC \perp AC$. В плоскости $ABC$, из точки $C$ провести $CH \perp AC$. Тогда $\angle DCH$ — искомый угол. Но $CH$ не лежит в плоскости $ABC$. Давай используем формулу косинуса двугранного угла. Проекция $D$ на плоскость $ABC$ — это точка $C$. 1. Двугранный угол при ребре $AC$ (обозначим его $DACB$). Так как $CD \perp ABC$, то $CD \perp AC$. В плоскости $ABC$, проведём из $C$ перпендикуляр к $AC$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, то такого перпендикуляра нет, если не рассматривать внешнюю область. В равностороннем $\triangle ABC$ все углы по $60^\circ$. Значит, $AC$ не перпендикулярна $BC$ и не перпендикулярна $AB$. Возьмем точку $K$ на $AC$. Проведем $DK \perp AC$ и $BK \perp AC$. Тогда $\angle DKB$ — это линейный угол. Линейный угол двугранного угла $DACB$ — это угол между $DC$ и $BC$. Неправильно. Линейный угол $DACB$ — это угол между перпендикуляром из $D$ на $AC$ и перпендикуляром из $B$ на $AC$. Поскольку $CD \perp ABC$, то $CD$ — высота тетраэдра. Рассмотрим грань $ABC$. Высота из $B$ на $AC$ будет $BH$. В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $6$, $BH = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Так как $CD \perp ABC$, то $BH$ перпендикулярна $AC$. А $DC$ перпендикулярна $AC$. Тогда угол между плоскостями $DAC$ и $ABC$ будет угол между $BH$ и $DC$. Нет, неверно. Угол $DACB$: Ребро $AC$. $DC \perp AC$. В плоскости $ABC$ проведем $CH'$ к $AC$ (это высота). В равностороннем треугольнике $ABC$ высота из $B$ к $AC$ будет $BH'$, где $H'$ — середина $AC$. $BH' = 3\sqrt{3}$. Линейный угол двугранного угла $DACB$ — это угол между $DC$ и $BC$. Неверно. Так как $CD \perp AC$ и $BC$ не перпендикулярна $AC$, то нужно использовать другое определение. Построим перпендикуляр из $D$ на $AC$. Это $DC$. Построим перпендикуляр из $B$ на $AC$. Это $BH_a$, где $H_a$ — основание высоты из $B$ на $AC$ в $\triangle ABC$. $BH_a = AB \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Итак, $CD \perp AC$ и $BH_a \perp AC$. Значит, искомый двугранный угол — это угол между $CD$ и $BH_a$. Нет, это не верно. Двугранный угол $DACB$ (ребро $AC$): $CD \perp AC$. В плоскости $ABC$ проведем $BE \perp AC$. Точка $E$ будет серединой $AC$. $BE = \sqrt{BC^2 - EC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$. Так как $CD \perp ABC$, то $CD \perp BE$. Угол $DBC$ — не прямой. Линейный угол двугранного угла $DACB$ — это угол между $DC$ и $BC$. Нет, это неправильно. Линейный угол двугранного угла при ребре $AC$ — это $\angle (DC, BC)$, если $BC \perp AC$. Так как $CD \perp ABC$, то $CD \perp AC$. В плоскости $ABC$, высота $BH$ к стороне $AC$ имеет длину $BH = AB \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Тогда двугранный угол $DACB$ равен $\arctan\left(\frac{CD}{BH}\right)$. Нет, это неверно. Давай использовать проекции. $D_1 = C$ (проекция $D$ на плоскость $ABC$). Двугранный угол $DACB$ при ребре $AC$: $\tan(\alpha) = \frac{\text{расстояние от } D \text{ до } AC}{\text{расстояние от } C \text{ до } AC}$. Нет. Линейный угол двугранного угла при ребре $AC$ — это угол между $DC$ и $PC$, где $PC$ — перпендикуляр из $C$ к $AC$ в плоскости $ABC$. Но в равностороннем треугольнике $ABC$, $AC$ не перпендикулярна $BC$. Пусть $M$ — середина $AC$. Тогда $BM \perp AC$. $BM = 3\sqrt{3}$. $CD \perp ABC \Rightarrow CD \perp AC$. Тогда линейный угол двугранного угла $DACB$ — это угол между $CD$ и $BM$. Нет, это неверно. Это угол между плоскостями $DAC$ и $BMC$. Линейный угол — это угол между $DM$ и $BM$, где $M$ — середина $AC$. $CD \perp AM \Rightarrow DM \perp AM$. $BM \perp AC$. В $\triangle DMC$: $DM = \sqrt{DC^2 + CM^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27+9} = \sqrt{36} = 6$. В $\triangle BMC$: $BM = 3\sqrt{3}$. Линейный угол двугранного угла $DACB$ — это угол $\angle DMB$. В $\triangle DMB$: $DB = 3\sqrt{7}$, $DM = 6$, $BM = 3\sqrt{3}$. По теореме косинусов: $DB^2 = DM^2 + BM^2 - 2 \cdot DM \cdot BM \cdot \cos(\angle DMB)$ $(3\sqrt{7})^2 = 6^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(\angle DMB)$ $63 = 36 + 27 - 36\sqrt{3} \cdot \cos(\angle DMB)$ $63 = 63 - 36\sqrt{3} \cdot \cos(\angle DMB)$ $0 = -36\sqrt{3} \cdot \cos(\angle DMB)$ $\cos(\angle DMB) = 0 \Rightarrow \angle DMB = 90^\circ$. Значит, двугранный угол $DACB$ равен $90^\circ$. Найдем двугранный угол $BDCA$ (ребро $CD$). Так как $CD \perp ABC$, то $CD \perp BC$. $CD \perp AC$. Линейный угол двугранного угла при ребре $CD$ — это угол между $BC$ и $AC$. Нет. Это угол между плоскостями $BCD$ и $ACD$. Угол между плоскостями $BCD$ и $ACD$ при ребре $CD$. В плоскости $BCD$, $BC \perp CD$. В плоскости $ACD$, $AC \perp CD$. Следовательно, линейный угол двугранного угла $BDCA$ — это угол $\angle BCA$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, то $\angle BCA = 60^\circ$. **Ответ:** двугранный угол $DACB = 90^\circ$, двугранный угол $BDCA = 60^\circ$.