Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, AB = BC = AC = 6, BD = 3√7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

**Ответ: 90°; 60°; 90°** 1) Ребро $CD \perp (ABC)$, следовательно, плоскость $ACD$ проходит через перпендикуляр к плоскости $ABC$. По признаку перпендикулярности плоскостей, $(ACD) \perp (ABC)$. Двугранный угол $DACB$ — это угол между плоскостями $ADC$ и $ABC$, он равен $90^\circ$. 2) Для нахождения угла $DABC$ (между плоскостями $ADB$ и $ABC$) проведём высоту $CH$ в равностороннем треугольнике $ABC$. Так как $CD \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах $DH \perp AB$. Значит, $\angle DHC$ — линейный угол искомого двугранного угла. В $\triangle ABC$ со стороной $a=6$ высота $CH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Из $\triangle BCD$ (прямоугольный, так как $CD \perp BC$): $CD^2 = BD^2 - BC^2 = (3\sqrt{7})^2 - 6^2 = 63 - 36 = 27 \Rightarrow CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. В прямоугольном $\triangle DCH$: $\text{tg}(\angle DHC) = \frac{CD}{CH} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 1$. Следовательно, $\angle DHC = 45^\circ$. **Допущение:** В условии задачи $BD = 3\sqrt{7}$ и $AB=BC=AC=6$ дают угол $45^\circ$, однако часто в подобных задачах ответ $60^\circ$ при других данных. Перепроверим: если $\text{tg} = 1$, то угол $45^\circ$. Если в вычислениях $CD$ или $CH$ иные, угол изменится. При текущих данных $\angle DABC = 45^\circ$. 3) Двугранный угол $BDCA$ — это угол между плоскостями $BCD$ и $ACD$. Так как $CD \perp (ABC)$, то $CD \perp BC$ и $CD \perp AC$. Линейным углом является $\angle ACB$. Треугольник $ABC$ равносторонний, поэтому $\angle ACB = 60^\circ$. Но так как грани $BCD$ и $ACD$ обе перпендикулярны плоскости основания и пересекаются по перпендикуляру $CD$, угол между ними равен углу в основании. **Ответ:** $DACB = 90^\circ$, $DABC = 45^\circ$, $BDCA = 60^\circ$.