Ребро DA тетраэдра DABC перпендикулярно плоскости ABC. AB = BC = AC = 8 см, BD = 4√7 см. Найти двугранный угол, грани которого содержат треугольники ABC и BCD.

1. **Анализ условия:** - Тетраэдр $DABC$, $DA \perp (ABC)$. Значит, $DA$ — высота тетраэдра. - Треугольник $ABC$ — равносторонний, так как $AB = BC = AC = 8$ см. - Ребро $BC$ — общая сторона треугольников $ABC$ и $BCD$, то есть ребро двугранного угла. 2. **Построение линейного угла двугранного угла:** - Проведём медиану и высоту $AH$ в $\triangle ABC$ к стороне $BC$. Так как треугольник правильный, $H$ — середина $BC$, и $AH \perp BC$. - По теореме о трёх перпендикулярах: так как $DA \perp (ABC)$ и проекция $AH \perp BC$, то и наклонная $DH \perp BC$. - Следовательно, $\angle DHA$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $BCD$. 3. **Вычисления:** - Найдём высоту $AH$ равностороннего $\triangle ABC$: $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. - Из прямоугольного $\triangle DAB$ (где $\angle DAB = 90^{\circ}$) по теореме Пифагора найдём $DA$: $DA^2 = BD^2 - AB^2 = (4\sqrt{7})^2 - 8^2 = 16 \cdot 7 - 64 = 112 - 64 = 48$. $DA = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см. - В прямоугольном $\triangle DAH$ ($\angle DAH = 90^{\circ}$): $\operatorname{tg}(\angle DHA) = \frac{DA}{AH} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 1$. - Если тангенс угла равен 1, то сам угол равен $45^{\circ}$. Ответ: $45^{\circ}$.