111. а) В правильном тетраэдре ABCD точка E — середина ребра BC. Найдите угол между плоскостями ABC и ADE.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ или $\approx 54,7^{\circ}$. Решение: 1. Угол между плоскостями $ABC$ и $ADE$ — это линейный угол двугранного угла с ребром $AE$ (так как $AE$ — общая прямая плоскостей). Однако в данной задаче удобнее рассмотреть построение перпендикуляров к ребру $BC$. 2. Пусть ребро тетраэдра равно $a$. Тогда все грани — правильные треугольники со стороной $a$. 3. В плоскости $ABC$ проведем медиану $AE$. Так как $\triangle ABC$ правильный, то $AE \perp BC$. Длина $AE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 4. В плоскости $DBC$ проведем медиану $DE$. Так как $\triangle DBC$ правильный, то $DE \perp BC$. Длина $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 5. Так как $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AE$ и $DE$) в точке $E$, то $BC \perp (ADE)$. Следовательно, плоскость $ADE$ перпендикулярна плоскости $ABC$, если бы $DE$ была высотой всего тетраэдра, но $DE$ — это апофема грани. 6. Искомый угол $\alpha$ — это угол между высотой грани $AE$ и плоскостью $ADE$. Но по построению $BC \perp (ADE)$, значит любая прямая в плоскости $ABC$ образует угол с плоскостью $ADE$. Заметим, что прямая $AE$ лежит в плоскости $ADE$, а прямая $DE$ также лежит в $ADE$. 7. На самом деле, так как $BC \perp (ADE)$, то любая плоскость, проходящая через $BC$ (например, $ABC$), перпендикулярна плоскости $ADE$. **Допущение:** В условии задачи часто ищут угол между гранью основания $ABC$ и боковой гранью, либо угол в треугольнике $ADE$. Если следовать букве условия: так как прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADE$ (доказано в п.5), то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $ABC$ (содержащая прямую $BC$) перпендикулярна плоскости $ADE$. Ответ: $90^{\circ}$.