Все рёбра тетраэдра ABCD равны. Через сторону AB проведена плоскость, перпендикулярная ребру CD. Найдите величину двугранного угла, образованного этой плоскостью с плоскостью грани ABC.

Решим задачу №1 из карточки С-14, В-4. **Дано:** $ABCD$ — правильный тетраэдр (все рёбра равны $a$). Плоскость $\alpha$ проходит через $AB$, $\alpha \perp CD$. Найти: угол между $\alpha$ и $(ABC)$. **Решение:** 1. Пусть $M$ — середина ребра $CD$. Так как тетраэдр правильный, медианы $AM$ и $BM$ в равносторонних треугольниках $ACD$ и $BCD$ также являются высотами. Значит, $AM \perp CD$ и $BM \perp CD$. 2. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $BM$ плоскости $(ABM)$, то $CD \perp (ABM)$. Следовательно, плоскость $(ABM)$ и есть искомая плоскость $\alpha$. 3. Линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$ — это прямая $AB$. 4. В треугольнике $ABC$ проведём высоту $CH$ к стороне $AB$. В треугольнике $ABM$ проведём медиану $MH$. Так как $AM = BM$ (высоты равных правильных треугольников), треугольник $ABM$ равнобедренный, и его медиана $MH$ является высотой ($MH \perp AB$). 5. Угол $\angle MHC$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $(ABM)$ и $(ABC)$, так как $CH \perp AB$ и $MH \perp AB$. 6. В правильном тетраэдре высота $DO$ падает в центр $O$ основания $ABC$. Точка $O$ лежит на высоте $CH$ и делит её в отношении $2:1$, считая от вершины. Из прямоугольного треугольника $DCH$: $\cos \angle DCH = \frac{CO}{CD} = \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. 7. Точка $M$ — середина $CD$, $MH$ — медиана $\triangle MDC$. В $\triangle DCH$: $\angle C = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) \approx 54,7^{\circ}$. Однако проще рассмотреть треугольник $MHC$. По теореме косинусов в $\triangle DHC$ находим $MH$, а затем угол $\angle MHC$. 8. Известно, что в правильном тетраэдре угол между высотой грани и плоскостью основания равен $\arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})$. Искомый угол $\angle MHC$ в данной конструкции равен $90^{\circ}$. **Ответ: 90^{\circ}**