1. В треугольнике ABC AB<BC<AC. Найдите угол A, угол B и угол C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°. 2. В треугольнике ABC угол A равен 90°, а угол C на 40° больше угла B. Найдите углы B и C. 3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 70°, CD — биссектриса. Найдите углы треугольника BCD. 4. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника.

1. По условию один угол прямой ($90^{\circ}$), а другой равен $30^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, значит третий угол равен $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то против стороны $AC$ лежит наибольший угол $B$, против $BC$ — угол $A$, против $AB$ — наименьший угол $C$. Следовательно: $\angle B = 90^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$. **Ответ: 60°, 90°, 30°.** 2. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$: $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. **Ответ: 25°, 65°.** 3. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle BDC = 180^{\circ} - (\angle B + \angle BCD) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. Углы $\triangle BCD$: $20^{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}$. **Ответ: 20°, 45°, 115°.** 4. Возможны два случая: 1) Основание меньше боковой стороны на 13 см. Пусть боковая сторона $x$, тогда основание $x - 13$. $x + x + (x - 13) = 50$ $3x = 63$ $x = 21$ (боковые стороны по 21 см), основание $21 - 13 = 8$ см. (Треугольник существует: $21+8 > 21$). 2) Боковая сторона меньше основания на 13 см. Пусть боковая сторона $x$, тогда основание $x + 13$. $x + x + (x + 13) = 50$ $3x = 37$ $x = 12\frac{1}{3}$ см, основание $12\frac{1}{3} + 13 = 25\frac{1}{3}$ см. (Треугольник существует: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} < 25\frac{1}{3}$ — ложно, $24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$, такой треугольник невозможен по неравенству треугольника). **Ответ: 21 см, 21 см, 8 см.**