Найдите наименьшее значение функции y = (x^2 + 10x - 10)e^{-10-x} на отрезке [-13; -8]

**Ответ: -29** **Решение:** 1. Найдём производную функции $y = (x^2 + 10x - 10)e^{-10-x}$ по правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$y' = (x^2 + 10x - 10)' \cdot e^{-10-x} + (x^2 + 10x - 10) \cdot (e^{-10-x})'$$ $$y' = (2x + 10) \cdot e^{-10-x} + (x^2 + 10x - 10) \cdot e^{-10-x} \cdot (-1)$$ $$y' = e^{-10-x} \cdot (2x + 10 - x^2 - 10x + 10)$$ $$y' = e^{-10-x} \cdot (-x^2 - 8x + 20)$$ 2. Приравняем производную к нулю. Так как $e^{-10-x} > 0$ всегда, то: $$-x^2 - 8x + 20 = 0$$ $$x^2 + 8x - 20 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 = -10$$ $$x_2 = 2$$ 3. Точка $x_2 = 2$ не принадлежит отрезку $[-13; -8]$. Точка $x_1 = -10$ принадлежит отрезку. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - При $x = -10$: $$y(-10) = ((-10)^2 + 10(-10) - 10)e^{-10-(-10)} = (100 - 100 - 10)e^0 = -10 \cdot 1 = -10$$ - При $x = -13$: $$y(-13) = ((-13)^2 + 10(-13) - 10)e^{-10-(-13)} = (169 - 130 - 10)e^3 = 29e^3$$ Так как $e \approx 2,7$, то $29e^3$ — положительное число. - При $x = -8$: $$y(-8) = ((-8)^2 + 10(-8) - 10)e^{-10-(-8)} = (64 - 80 - 10)e^{-2} = -26e^{-2} = -\frac{26}{e^2}$$ Сравним $-10$ и $-\frac{26}{e^2}$. Так как $e^2 \approx 7,39$, то $-\frac{26}{7,39} \approx -3,5$. Число $-10$ меньше. **Допущение:** В подобных заданиях ЕГЭ часто в ответе должно получаться целое число или конечная десятичная дробь, что соответствует значению в точке $x = -10$. Однако, перепроверив условие, если вкралась ошибка в знаках или коэффициентах самого задания на картинке (например, если функция $y = (x^2 + 12x + 12)e^{10-x}$ и т.д.), метод остается тем же. Для данной функции наименьшее значение $-10$. Но если пересчитать $y(-13) = 29e^3$ и $y(-8) = -26/e^2$, то $-10$ действительно наименьшее среди них. *Заметил, что часто в таких задачах опечатка в знаках. Если функция была $y = (x^2 + 8x - 10)e^{-10-x}$, ответ был бы другой. Для текущей записи:* **Наименьшее значение -10.**