Найдите наименьшее значение функции $y = (2 - x)e^{3 - x}$ на отрезке $[0.5; 12]$.

Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно выполнить несколько шагов: 1. **Найти производную функции:** $$y = (2 - x)e^{3 - x}$$ Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Здесь $u = 2 - x$ и $v = e^{3 - x}$. Производная $u' = (2 - x)' = -1$. Производная $v' = (e^{3 - x})'$. Для этого используем правило цепи: $(e^f)' = e^f \cdot f'$. Здесь $f = 3 - x$, значит $f' = -1$. Тогда $v' = e^{3 - x} \cdot (-1) = -e^{3 - x}$. Теперь подставим это в формулу производной произведения: $$y' = (-1)e^{3 - x} + (2 - x)(-e^{3 - x})$$ $$y' = -e^{3 - x} - (2 - x)e^{3 - x}$$ Вынесем общий множитель $e^{3 - x}$: $$y' = e^{3 - x}(-1 - (2 - x))$$ $$y' = e^{3 - x}(-1 - 2 + x)$$ $$y' = e^{3 - x}(x - 3)$$ 2. **Приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки:** $$e^{3 - x}(x - 3) = 0$$ Так как $e^{3 - x}$ всегда больше нуля, то $x - 3$ должно быть равно нулю. $$x - 3 = 0$$ $$x = 3$$ Эта критическая точка $x=3$ находится на заданном отрезке $[0.5; 12]$. 3. **Вычислить значения функции на концах отрезка и в критической точке:** * При $x = 0.5$ (левый конец отрезка): $$y(0.5) = (2 - 0.5)e^{3 - 0.5} = 1.5e^{2.5}$$ Приблизительное значение: $1.5 \cdot 12.182 = 18.273$ * При $x = 3$ (критическая точка): $$y(3) = (2 - 3)e^{3 - 3} = (-1)e^0 = (-1) \cdot 1 = -1$$ * При $x = 12$ (правый конец отрезка): $$y(12) = (2 - 12)e^{3 - 12} = (-10)e^{-9}$$ Приблизительное значение: $-10 \cdot 0.000123 = -0.00123$ 4. **Сравнить полученные значения и найти наименьшее:** Значения функции: $1.5e^{2.5} \approx 18.273$, $-1$, $-10e^{-9} \approx -0.00123$. Наименьшее из этих значений равно $-1$. **Ответ:** $-1$