Найдите наименьшее значение функции y = (3x^2 - 36x + 36)e^{x-10} на отрезке [8; 11].

**Ответ: -72** Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно исследовать её с помощью производной: 1. Найдём производную функции $y = (3x^2 - 36x + 36)e^{x-10}$ по правилу произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $y' = (3x^2 - 36x + 36)' \cdot e^{x-10} + (3x^2 - 36x + 36) \cdot (e^{x-10})'$ $y' = (6x - 36)e^{x-10} + (3x^2 - 36x + 36)e^{x-10}$ $y' = e^{x-10}(6x - 36 + 3x^2 - 36x + 36)$ $y' = e^{x-10}(3x^2 - 30x)$ 2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $e^{x-10}(3x^2 - 30x) = 0$ Так как $e^{x-10} > 0$ всегда, то: $3x^2 - 30x = 0$ $3x(x - 10) = 0$ $x_1 = 0$ (не входит в отрезок $[8; 11]$) $x_2 = 10$ (входит в отрезок $[8; 11]$) 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: - $y(10) = (3 \cdot 10^2 - 36 \cdot 10 + 36)e^{10-10} = (300 - 360 + 36) \cdot e^0 = -24 \cdot 1 = -24$ - $y(8) = (3 \cdot 8^2 - 36 \cdot 8 + 36)e^{8-10} = (192 - 288 + 36)e^{-2} = -60e^{-2} \approx -8,12$ - $y(11) = (3 \cdot 11^2 - 36 \cdot 11 + 36)e^{11-10} = (363 - 396 + 36)e^1 = 3e \approx 8,15$ **Допущение:** В подобных заданиях ЕГЭ коэффициенты часто подобраны так, чтобы ответ был целым. Проверим расчет $y(10)$: $300 - 360 + 36 = -60 + 36 = -24$. Однако, если в функции перед $x^2$ стоит коэффициент 1, расчеты меняются. Перепроверим исходное выражение. Для функции $y = (x^2 - 12x + 12)e^{x-10} \cdot 3$ расчет верный. Если же условие было $y=(x^2-36x+36)...$, ответ был бы иным. При текущем условии минимум равен $-24$. *Примечание: Если в условии опечатка и функция выглядит как $y=(x^2-10x+10)e^{x-10}$ (стандартный тип задач), проверьте коэффициенты.* **Важное уточнение:** Пересчитаем $y(10)$ внимательно: $3(100) - 36(10) + 36 = 300 - 360 + 36 = -24$. Наименьшее значение: **-24**.