К плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB = 12√3 см проведен перпендикуляр DC, равный 18 см. Найдите угол между плоскостями DAB и CAB.

**Задание 58** **Ответ:** $60^{\circ}$ **Решение:** Треугольники $ABC$ и $ADB$ равнобедренные: $\triangle ABC$ (по условию, прямоугольный равнобедренный), а в $\triangle ADB$ $DA = DB$, так как эти стороны — наклонные к плоскости $\alpha$, проведенные из точки $D$, а их проекции $CA$ и $CB$ равны (как катеты равнобедренного прямоугольного $\triangle ABC$). Поэтому медианы $CF$ и $DF$ этих треугольников, проведенные из вершин $C$ и $D$ к общему основанию $AB$, являются **высотами**, и, следовательно, $\angle DFC$ — линейный угол между плоскостями $DAB$ и $CAB$, а значит, угол между плоскостями $DAB$ и $CAB$ равен $\angle DFC$. $\triangle DCF$ прямоугольный ($\angle DCF = 90^{\circ}$ по условию перпендикулярности $DC$ к плоскости $\alpha$), $DC = 18$ см. В прямоугольном $\triangle ABC$ медиана $CF$, проведенная к гипотенузе, равна её половине: $CF = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см. В $\triangle DCF$: $\text{tg } \angle DFC = \frac{DC}{CF} = \frac{18}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$, откуда $\angle DFC = 60^{\circ}$. --- **Задание 59** **Ответ:** $6$ см **Решение:** Проведем перпендикуляр $BO$ к плоскости $\alpha$. Отрезок $BC$ — наклонная к **плоскости $\alpha$**, отрезок **$OC$** — проекция наклонной **$BC$** на **плоскость $\alpha$**, а прямая $AC$, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна к наклонной $BC$ (по условию $\triangle ABC$ прямоугольный с $\angle C = 90^{\circ}$). Следовательно, согласно **теореме о трех перпендикулярах**, $AC \perp OC$. 1. В прямоугольном $\triangle ABC$: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. 2. Угол между плоскостью $\triangle ABC$ и плоскостью $\alpha$ — это $\angle BCO = 60^{\circ}$ (так как $AC \perp BC$ и $AC \perp OC$). 3. В прямоугольном $\triangle BOC$ расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ — это катет $BO$: $BO = BC \cdot \sin \angle BCO = 12 \cdot \sin 60^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. **Допущение:** В тексте задания 59 пропущен вопрос о значении $\sin 60^{\circ}$ или $\text{tg} 60^{\circ}$, расчет произведен стандартным тригонометрическим методом.