1. Через сторону АВ прямоугольного треугольника ABC с прямым углом В проведена плоскость, находящаяся на расстоянии 4 см от точки С, как показано на рисунке. Найдите угол, который образует эта плоскость с плоскостью треугольника ABC, если ВС = 8 см.

Решение заданий С-14, Вариант 1: 1. Пусть $CC_1$ — перпендикуляр из точки $C$ на плоскость $\alpha$. По условию $CC_1 = 4$ см. Проведем $CB \perp AB$ (так как $\angle ABC = 90^{\circ}$ по условию). По теореме о трех перпендикулярах $C_1B \perp AB$. Значит, $\angle CBC_1$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника и плоскостью $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный $\triangle CBC_1$ ($\angle CC_1B = 90^{\circ}$): $\sin(\angle CBC_1) = \frac{CC_1}{BC} = \frac{4}{8} = 0,5$. $\angle CBC_1 = 30^{\circ}$. **Ответ: 30^{\circ}**. 2. Пусть точка $M$ лежит на грани $\alpha$, а точка $K$ — на грани $\beta$. Опустим перпендикуляр $ML$ на ребро двугранного угла. Тогда $\angle MLK$ — линейный угол двугранного угла (пусть он равен $\phi$). В $\triangle MKL$ ($\angle MKL = 90^{\circ}$): $MK$ — катет, $ML$ — гипотенуза. По условию $ML = a$. Из определения синуса: $MK = ML \cdot \sin \phi = a \sin \phi$. **Ответ: a \sin \phi**. Решение заданий С-14, Вариант 2: 1. Пусть $C$ — вершина прямого угла, $CH$ — высота к гипотенузе $AB$. Найдем гипотенузу: $AB = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = 26$ см. Высота $CH = \frac{10 \cdot 24}{26} = \frac{120}{13}$ см. Пусть $CK$ — перпендикуляр к плоскости, проходящей через гипотенузу. В $\triangle CHK$ ($\angle CKH = 90^{\circ}$, $\angle CHK = 30^{\circ}$): $CK = CH \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{120}{13} \cdot \frac{1}{2} = \frac{60}{13} \approx 4,6$ см. **Ответ: \frac{60}{13} см**. 2. Пусть $KD$ — перпендикуляр к ребру, $KD = 5$. Расстояния до граней — это катеты в прямоугольных треугольниках с гипотенузой $KD$. $h_1 = 5 \cdot \sin 30^{\circ} = 2,5$; $h_2 = 5 \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4,33$. **Ответ: 2,5 и 2,5\sqrt{3}**. Решение заданий С-14, Вариант 3: 1. В $\triangle ABC$ ($\\angle A = 90^{\circ}$): $AB = 9$ см — это наклонная к плоскости $\alpha$. Перпендикуляр из $B$ к плоскости $\alpha$ образует с $AB$ угол, дополняющий угол наклона до $90^{\circ}$. Расстояние $h = AB \cdot \sin 30^{\circ} = 9 \cdot 0,5 = 4,5$ см. **Ответ: 4,5 см**. 2. Точка $A$ лежит на биссекторе двугранного угла, так как она равноудалена от его граней. Расстояние $a$ — это катет, противолежащий углу $60^{\circ}/2 = 30^{\circ}$. Расстояние до ребра $L = \frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{a}{0,5} = 2a$. **Ответ: 2a**.