Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежит в плоскости α, а угол между плоскостью α и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки B до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см.

1. **Ответ: $6\sqrt{3}$ см** **Решение:** 1) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) по теореме Пифагора найдём катет $BC$: $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)}$$ 2) Так как $AC \perp BC$ (по условию) и $AC \subset \alpha$, то линейным углом двугранного угла между плоскостью $\triangle ABC$ и плоскостью $\alpha$ является $\angle BCD$, где $BD$ — перпендикуляр из точки $B$ к плоскости $\alpha$ ($BD \perp \alpha$, $D \in \alpha$). Тогда $CD \perp AC$ по теореме о трёх перпендикулярах. 3) В прямоугольном $\triangle BDC$ ($\angle D = 90^{\circ}$): $$BD = BC \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ (см)}$$ 2. **Ответ: $45^{\circ}$** **Решение:** 1) Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный прямоугольный ($AB$ — гипотенуза, $AC=BC=a$), $AB \subset \alpha$. Проведём высоту $CH \perp AB$. В равнобедренном $\triangle ABC$ высота $CH$ также медиана: $$AB = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}; \quad CH = \frac{1}{2}AB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ 2) Пусть $CO \perp \alpha$ — расстояние от вершины до плоскости. Тогда $\angle CAO = 30^{\circ}$ (угол наклона катета). Из $\triangle COA$: $$CO = AC \cdot \sin(30^{\circ}) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$$ 3) Искомый угол $\varphi$ между плоскостями — это $\angle CHO$ (так как $CH \perp AB$ и $OH \perp AB$). $$\sin(\varphi) = \frac{CO}{CH} = \frac{a/2}{a\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \varphi = 45^{\circ}$$ 3. **Доказательство:** Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Плоскость $\gamma \perp c$. 1) Так как $c \subset \alpha$ и $\gamma \perp c$, то по признаку перпендикулярности плоскостей (если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны), получаем $\alpha \perp \gamma$. 2) Аналогично, так как $c \subset \beta$ и $\gamma \perp c$, то по тому же признаку $\beta \perp \gamma$. Что и требовалось доказать.