Из вершины $B$ треугольника $ABC$, сторона $AC$ которого лежит в плоскости $\alpha$, проведен к этой плоскости перпендикуляр $BB_1$. Найдите расстояния от точки $B$ до прямой $AC$ и до плоскости $\alpha$, если $AB = 2$ см, $\angle BAC = 150^{\circ}$ и двугранный угол $BACB_1$ равен $45^{\circ}$.

1. Сделаем рисунок. Нарисуем треугольник $ABC$, плоскость $\alpha$ и перпендикуляр $BB_1$ к ней. :::div .chart-container @chart-1::: 2. Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ – это длина высоты, опущенной из $B$ на $AC$. Пусть это будет $BH$. В треугольнике $ABH$ угол $BAH$ равен $180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$ (так как угол $BAC = 150^{\circ}$, а угол $BHA = 90^{\circ}$). Используем синус: $BH = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см. 3. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ – это длина перпендикуляра $BB_1$. Угол $BB_1C$ равен $90^{\circ}$. Двугранный угол $BACB_1$ – это угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$. Линия пересечения плоскостей — $AC$. Угол между прямой $B_1C$ и $BC$ является линейным углом двугранного угла. То есть, $\angle BC B_1 = 45^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $BB_1H$, где $BH$ – расстояние от $B$ до $AC$ в плоскости треугольника (мы нашли его в п. 2). $BB_1 = BH \cdot \sin(\angle B H B_1)$. Но мы знаем, что $BB_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Значит $BB_1 \perp AC$. Расстояние от $B$ до $AC$ в плоскости $\alpha$ — это $B_1H$. Мы можем рассмотреть треугольник $BB_1H$. $BH=1$ см. Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ по определению - это угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к линии пересечения. Таким образом, $\angle BHB_1$ – это линейный угол двугранного угла $BACB_1$, который равен $45^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $BB_1H$: $BB_1 = BH \cdot \sin(45^{\circ}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см. **Ответ:** Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно $1$ см. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.