Отрезок МС — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью AMD равен 45°. Найдите площадь квадрата, если точка М удалена от прямой AD на 10 см.

Question

Вопрос:

Отрезок МС — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью AMD равен 45°. Найдите площадь квадрата, если точка М удалена от прямой AD на 10 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи №14.26 воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и определением угла между плоскостями. 1. Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $a$. Тогда его площадь $S_{ABCD} = a^2$. 2. $MC$ — перпендикуляр к плоскости квадрата, значит $MC \perp CD$ и $MC \perp CB$. Треугольник $MCD$ — прямоугольный ($∠MCD = 90^{\circ}$). 3. Отрезок $CD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость квадрата. Так как $CD \perp AD$ (стороны квадрата), то по теореме о трёх перпендикулярах $MD \perp AD$. 4. Угол между плоскостью $(AMD)$ и плоскостью квадрата $(ABCD)$ — это линейный угол двугранного угла при ребре $AD$. Поскольку $MD \perp AD$ и $CD \perp AD$, этим углом является $∠MDC = 45^{\circ}$. 5. В прямоугольном треугольнике $MCD$: $CD = MC \cdot \operatorname{ctg}(45^{\circ})$. Так как $\operatorname{ctg}(45^{\circ}) = 1$, то $CD = MC = 10$ см. 6. Сторона квадрата $a = CD = 10$ см. 7. Площадь квадрата: $S = 10^2 = 100$ см$^2$. **Ответ: 100 см$^2$**.

Ответ ассистента

Другие решения