Плоскости прямоугольных треугольников ABC и ABK перпендикулярны. AB=8 см, AK=6 см, ∠ABK=∠ABC=90°, ∠BAC=45°. Вычислите расстояние между: 1) точками K и C; 2) прямыми BK и AC.

Для решения этих задач воспользуемся свойствами перпендикулярных плоскостей и теоремой Пифагора. ### Задание 13.6.2 **Дано:** Плоскости $(ABC) \perp (ABK)$. $\triangle ABC$ и $\triangle ABK$ — прямоугольные. $AB = 8$ см, $AK = 6$ см. $\angle ABK = \angle ABC = 90^\circ$ (значит, $AB$ — линия пересечения плоскостей, так как перпендикуляры $BK$ и $BC$ проведены к ней). $\angle BAC = 45^\circ$. **Решение:** 1) **Найдем расстояние между точками $K$ и $C$.** Так как $(ABK) \perp (ABC)$, а $BK \perp AB$ (в плоскости $ABK$), то $BK \perp (ABC)$. Следовательно, $BK \perp BC$. В $\triangle ABC$: $\angle B = 90^\circ, \angle A = 45^\circ \implies BC = AB \cdot \text{tg}(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8$ см. В $\triangle ABK$: по теореме Пифагора $BK = \sqrt{AK^2 - AB^2}$, но здесь гипотенуза $AK=6$, а катет $AB=8$, что невозможно. **Допущение:** Вероятно, в условии опечатка, и $AB$ не может быть 8, если гипотенуза 6. Если считать $AB$ и $BK$ катетами, а $AK$ гипотенузой — данных не хватает. Предположим, что $AB=8$ катет, а прямой угол при вершине $A$ в $\triangle ABK$ или дана другая сторона. Однако, следуя буквальному тексту: $AK=6$, $AB=8$, $\angle ABK=90^\circ$ — треугольник не существует. **Если $AB=c$, $BK=h$, $BC=a$:** $KC = \sqrt{BK^2 + BC^2}$. 2) **Расстояние между прямыми $BK$ и $AC$.** Так как $BK \perp (ABC)$, расстоянием будет перпендикуляр из точки $B$ на прямую $AC$. В прямоугольном равнобедренном $\triangle ABC$ с катетами 8, высота $h = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{8 \cdot 8}{8\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см. **Ответ:** 1) Невозможно при $AK=6, AB=8$; 2) $4\sqrt{2}$ см. --- ### Задание 13.7.2 **Дано:** $(ABC) \perp (ADC)$. $\triangle ABC$ — равносторонний, $AB = a$. $\triangle ADC$ — прямоугольный равнобедренный, $\angle ADC = 90^\circ$. **Решение:** 1) **Найдем расстояние между вершинами $B$ и $D$.** Пусть $M$ — середина общего основания $AC$. $AC = a$. В равностороннем $\triangle ABC$ высота $BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В прямоугольном равнобедренном $\triangle ADC$ медиана к гипотенузе $DM = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$. Так как плоскости перпендикулярны и $BM \perp AC, DM \perp AC$, то $\angle BMD = 90^\circ$. По теореме Пифагора в $\triangle BMD$: $BD = \sqrt{BM^2 + DM^2} = \sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$. 2) **Расстояние между прямыми $BD$ и $AC$.** Обе точки $B$ и $D$ проецируются в одну точку $M$ на прямой $AC$ (так как $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$). Значит, плоскость $(BMD) \perp AC$. Расстоянием между прямой $AC$ и любой прямой в плоскости $(BMD)$, проходящей через $M$ (включая $BD$), будет длина перпендикуляра из $M$ на $BD$. В прямоугольном $\triangle BMD$ ($BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}, DM = \frac{a}{2}, BD = a$) искомое расстояние $h$: $h = \frac{BM \cdot DM}{BD} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2}}{a} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4a} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$. **Ответ:** 1) $a$; 2) $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.