К плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB = 12√3 см проведен перпендикуляр DC, равный 18 см. Найдите угол между плоскостями DAB и CAB.

**Задание 58** **Ответ:** $\angle DFC = 60^{\circ}$ **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle ABC$ (прямоугольный, равнобедренный, $\angle C = 90^{\circ}$, $AB = 12\sqrt{3}$). Поскольку треугольник равнобедренный, медиана $CF$, проведенная к гипотенузе, является также высотой. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине: $CF = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см. 2. Рассмотрим $\triangle ADB$. Так как $DC \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах $DF \perp AB$. Значит, $DF$ — медиана и высота равнобедренного $\triangle ADB$. 3. Угол между плоскостями $DAB$ и $CAB$ — это линейный угол $\angle DFC$ (так как $CF \perp AB$ и $DF \perp AB$). 4. В прямоугольном $\triangle DCF$ (где $\angle DCF = 90^{\circ}$, так как $DC$ — перпендикуляр к плоскости): $DC = 18$ см, $CF = 6\sqrt{3}$ см. $\operatorname{tg} \angle DFC = \frac{DC}{CF} = \frac{18}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. 5. Если $\operatorname{tg} \angle DFC = \sqrt{3}$, то $\angle DFC = 60^{\circ}$. Заполнение пропусков в тексте: Треугольники $ABC$ и $ADB$ равнобедренные: $\triangle ABC$ **прямоугольный по условию**, а в $\triangle ADB$ $DA = DB$, так как эти стороны **являются наклонными к плоскости с равными проекциями $AC$ и $BC$**. Поэтому медианы $CF$ и $DF$ этих треугольников, проведенные из вершин $C$ и $D$ к общему основанию **$AB$**, являются **высотами**, и, следовательно, $\angle DFC$ — линейный угол **двугранного угла между плоскостями**, а значит, угол между плоскостями $DAB$ и $CAB$ равен $\angle DFC$. $\triangle DCF$ прямоугольный, $DC = 18$, $CF = \frac{1}{2} AB = 6\sqrt{3}$ см и поэтому $\operatorname{tg} \angle DFC = \frac{18}{6\sqrt{3}} = \sqrt{3}$, откуда $\angle DFC = 60^{\circ}$. **Задание 59** **Ответ:** $6\sqrt{3}$ см **Решение:** 1. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $AC = 5$ см, $AB = 13$ см. Найдём $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. 2. По условию угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $60^{\circ}$. Так как $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ и $BC \perp AC$, то углом между плоскостями является $\angle BCO = 60^{\circ}$ (по теореме о трех перпендикулярах, где $BO \perp \alpha$, $CO$ — проекция $BC$). 3. В прямоугольном $\triangle BOC$ ($\angle BOC = 90^{\circ}$): $BO = BC \cdot \sin 60^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Заполнение пропусков в тексте: Проведем перпендикуляр $BO$ к плоскости $\alpha$. Отрезок $BC$ — наклонная к **плоскости $\alpha$**, отрезок $OC$ — проекция наклонной **$BC$** на **плоскость $\alpha$**, а прямая $AC$, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна к наклонной $BC$. Следовательно, согласно **теореме о трех перпендикулярах, $AC \perp OC$. Тогда $\angle BCO$ — линейный угол двугранного угла, $\angle BCO = 60^{\circ}$**.