Плоскости прямоугольных треугольников ABC и ABK перпендикулярны. AB=8 см, AK=6 см, ∠ABK=∠ABC=90°, ∠BAC=45°. Вычислите расстояние между: 1) точками K и C; 2) прямыми BK и AC.

Для решения этих задач воспользуемся свойствами перпендикулярности плоскостей и теоремой Пифагора. ### Задача 13.6.2 **Дано:** Плоскости $\triangle ABC$ и $\triangle ABK$ перпендикулярны. $AB=8\text{ см}$, $AK=6\text{ см}$. $\angle ABK = \angle ABC = 90^\circ$, $\angle BAC = 45^\circ$. **Решение:** 1) **Найдем расстояние между точками $K$ и $C$.** Так как плоскости перпендикулярны и $BK \perp AB$, $BC \perp AB$, то $BK$ и $BC$ лежат в перпендикулярных плоскостях. Линия пересечения плоскостей — $AB$. Отрезок $BK \perp AB$ и $BC \perp AB$, значит $\angle KBC = 90^\circ$. В $\triangle ABC$ (прямоугольный, т.к. $\angle ABC = 90^\circ$): $BC = AB \cdot \text{tg}(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8\text{ см}$. В $\triangle ABK$ (прямоугольный): $BK = \sqrt{AK^2 - AB^2}$. Здесь ошибка в условии или данных: гипотенуза $AK(6)$ не может быть меньше катета $AB(8)$. **Допущение:** Вероятно, $AK$ — это гипотенуза другого треугольника или значения перепутаны. Если допустить, что в $\triangle ABK$ заданы катеты $AB=8$ и $BK=6$, тогда: $KC = \sqrt{BK^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\text{ см}$. 2) **Найдем расстояние между прямыми $BK$ и $AC$.** Так как $BK \perp AB$ и $BK \perp BC$, то $BK$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Расстояние от прямой $BK$ до прямой $AC$, лежащей в этой плоскости, равно перпендикуляру из точки $B$ на $AC$. В равнобедренном прямоугольном $\triangle ABC$ ($AB=BC=8$) высота $h$ к гипотенузе $AC$ равна: $h = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{8 \cdot 8}{8\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\text{ см}$. **Ответ:** 1) $10\text{ см}$ (при условии $BK=6$); 2) $4\sqrt{2}\text{ см}$. --- ### Задача 13.7.2 **Дано:** $\triangle ABC$ — равносторонний, $AB=a$. $\triangle ADC$ — прямоугольный равнобедренный, $\angle ADC = 90^\circ$. Плоскости перпендикулярны. **Решение:** 1) **Найдем расстояние между вершинами $B$ и $D$.** Пусть $M$ — середина $AC$. В $\triangle ABC$ медиана $BM$ является высотой: $BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В $\triangle ADC$ медиана $DM$ к гипотенузе $AC$ равна её половине: $DM = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$. Так как плоскости перпендикулярны, а $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$, то $\angle BMD = 90^\circ$. Из $\triangle BMD$ по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{BM^2 + DM^2} = \sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$. 2) **Найдем расстояние между прямыми $BD$ и $AC$.** Линия $AC$ — это пересечение плоскостей. Точка $M$ лежит на $AC$. Отрезки $BM$ и $DM$ перпендикулярны $AC$. Значит, любая точка на $AC$ проектируется в точку $M$ на плоскости $BMD$. Расстояние между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ равно высоте из точки $M$ на гипотенузу $BD$ в прямоугольном $\triangle BMD$. $h = \frac{BM \cdot DM}{BD} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2}}{a} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$. **Ответ:** 1) $a$; 2) $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.