Решите уравнение 4^{\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x} - 9 \cdot 2^{\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x} + 14 = 0

**Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi n \pm \frac{\pi}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$. **Решение:** Дано уравнение: $4^{\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x} - 9 \cdot 2^{\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x} + 14 = 0$ 1. Введём замену переменной: Пусть $t = 2^{\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x}$, где $t > 0$. Тогда уравнение примет вид квадратного: $t^2 - 9t + 14 = 0$ 2. Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант или по теореме Виета: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 = 5^2$ $t_1 = \frac{9 - 5}{2} = 2$ $t_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7$ 3. Сделаем обратную замену: а) $2^{\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x} = 2^1$ $\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x = 1$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $\sin x - \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Воспользуемся методом вспомогательного угла (умножим на $\frac{\sqrt{2}}{2}$): $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$ $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ $x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $2^{\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x} = 7$ $\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x = \log_2 7$ $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\log_2 7}{2}$ Так как $\log_2 7 > \log_2 4 = 2$, то $\frac{\log_2 7}{2} > 1$. Уравнение $\sin\alpha = a$ при $|a| > 1$ корней не имеет. **Допущение:** Так как отрезок для отбора корней на изображении обрезан, приведено общее решение первой части задачи.