Решите уравнение (sin^4 x - sin(2x - pi/2) - cos^2 x) / (2sin^2(x/4 - pi/4) + 3cos(pi/4 - x/4) - 2) = 0 и укажите корни, принадлежащие отрезку [0; 4pi]

Для решения данного уравнения сначала упростим выражение, учитывая область допустимых значений (ОДЗ). 1. **ОДЗ:** Знаменатель не должен быть равен нулю: $2\sin^2\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{4}\right) + 3\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{4}\right) - 2 \neq 0$ 2. **Упрощение числителя:** $\sin^4 x - \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) - \cos^2 x = 0$ Используем формулу приведения $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos\alpha$, тогда: $\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(2x)$ Уравнение числителя примет вид: $\sin^4 x + \cos(2x) - \cos^2 x = 0$ Вспомним формулу $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$: $\sin^4 x + (\cos^2 x - \sin^2 x) - \cos^2 x = 0$ $\sin^4 x - \sin^2 x = 0$ $\sin^2 x (\sin^2 x - 1) = 0$ 3. **Нахождение корней числителя:** а) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ Объединяя, получаем $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. 4. **Проверка по ОДЗ:** Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{4}\right)$. Пусть $t = \cos\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{4}\right)$. Тогда $2(1 - t^2) + 3t - 2 \neq 0 \Rightarrow -2t^2 + 3t \neq 0 \Rightarrow t(3 - 2t) \neq 0$. Так как $|t| \leq 1$, то $t \neq 0$. Значит, $\cos\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{4}\right) \neq 0 \Rightarrow \frac{x}{4} - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \Rightarrow x \neq 3\pi + 4\pi m$. Проверим наши корни: Если $x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi...$ При $x = 3\pi$ знаменатель обращается в 0 (не подходит). При $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}...$ все значения подходят. 5. **Отбор корней на отрезке $[0; 4\pi]$:** Корни вида $\frac{\pi n}{2}$: $0; \frac{\pi}{2}; \pi; \frac{3\pi}{2}; 2\pi; \frac{5\pi}{2}; 3\pi (исключаем); \frac{7\pi}{2}; 4\pi$. **Ответ: 0; $\frac{\pi}{2}$; $\pi$; $\frac{3\pi}{2}$; $2\pi$; $\frac{5\pi}{2}$; $\frac{7\pi}{2}$; $4\pi$.**