**Ответ:**
а) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$ (после упрощения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pi + 2\pi k$, но с учетом ОДЗ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$)
б) $-\frac{17\pi}{4}; -\frac{21\pi}{4}$
**Решение:**
**а) Решим уравнение:**
$\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\cos x} = 2\sqrt{2}$
ОДЗ: $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi n}{2}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\cos x - \sin x}{\sin x \cos x} = 2\sqrt{2}$
$\cos x - \sin x = 2\sqrt{2} \sin x \cos x$
Используем формулу синуса двойного угла ($2 \sin x \cos x = \sin 2x$) и метод введения вспомогательного угла для левой части:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2} \sin 2x$
$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin 2x$
$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \sin 2x$
Заменим $\sin 2x$ на $\cos(\frac{\pi}{2} - 2x)$:
$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x)$
Получаем две совокупности уравнений:
1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$
2) $x + \frac{\pi}{4} = -(\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi k \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi k \Rightarrow -x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
Проверим корни через исходное уравнение $\cos x - \sin x = \sqrt{2} \sin 2x$:
Если $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, то $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(\frac{3\pi}{2}) = -\sqrt{2}$. Подходит.
Если $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$:
При $k=0$, $x = 15^\circ$. $\cos 15^\circ - \sin 15^\circ > 0$, а $\sin 30^\circ > 0$. Нужно проверить точнее.
Используем возведение в квадрат (с учетом знаков):
$(\cos x - \sin x)^2 = (\sqrt{2} \sin 2x)^2$
$1 - \sin 2x = 2 \sin^2 2x$
$2 \sin^2 2x + \sin 2x - 1 = 0$
Пусть $t = \sin 2x$, тогда $2t^2 + t - 1 = 0$.
$D = 1 + 8 = 9$. $t_1 = \frac{-1+3}{4} = 0.5$, $t_2 = -1$.
1) $\sin 2x = -1 \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$. (Проверка: при $x = -\pi/4$, $\cos x - \sin x = \sqrt{2}$, $\sin 2x = -1$, $\sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}$ — не подходит. При $x = 3\pi/4$, $\cos x - \sin x = -\sqrt{2}$, $\sin 2x = -1$, $\sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}$ — **подходит**).
2) $\sin 2x = 0.5$. Тогда $\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cdot 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это выполняется, когда $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$ или $x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$.
Итоговые серии: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k, x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$.
**б) Отбор корней на отрезке $[-\frac{11\pi}{2}; -4\pi]$:**
$[-\frac{11\pi}{2}; -4\pi] = [-5.5\pi; -4\pi]$.
1) $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k = -3: x = 0.75\pi - 6\pi = -5.25\pi = -\frac{21\pi}{4}$. Входит.
2) $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$:
При $k = -3: x \approx -5.9\pi$. Вне.
При $k = -2: x \approx -3.9\pi$. Вне.
3) $x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$:
При $k = -2: x = -\frac{7\pi}{12} - 4\pi = -4\frac{7}{12}\pi = -\frac{55\pi}{12}$. Входит.
