Решите уравнение $4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$

Нам нужно решить тригонометрическое уравнение: $$4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$$ Используем формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество: $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$ $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$ Подставим эти формулы в уравнение: $$4\sin x + (1 - \sin^2 x) - (2\sin x \cos x) - 4 = 0$$ $$4\sin x + 1 - \sin^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$$ $$-\sin^2 x + 4\sin x - 2\sin x \cos x - 3 = 0$$ Умножим всё на -1 для удобства: $$\sin^2 x - 4\sin x + 2\sin x \cos x + 3 = 0$$ Это уравнение можно решить, если выразить $\cos x$ через $\sin x$ или наоборот, но это приведет к иррациональности. Попробуем иначе. Заметим, что $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$. Давайте перепишем уравнение, используя другие тождества. Исходное уравнение: $$4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$$ Мы знаем, что $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Рассмотрим другой подход. Заметим, что $\cos^2 x - 4$ можно записать как $-(4 - \cos^2 x)$. Давай попробуем сгруппировать члены: $$4\sin x - \sin 2x + \cos^2 x - 4 = 0$$ $$4\sin x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x - 4 = 0$$ Разделим все на $\sin^2 x$ (если $\sin x \ne 0$) или на $\cos^2 x$ (если $\cos x \ne 0$). Проверим, могут ли $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$ быть решениями. Если $\sin x = 0$, то $x = \pi k$. Подставим в уравнение: $$4(0) + \cos^2 (\pi k) - \sin (2\pi k) - 4 = 0$$ $$0 + (\pm 1)^2 - 0 - 4 = 0$$ $$1 - 4 = 0 \implies -3 = 0$$ Это неверно, значит, $\sin x \ne 0$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Подставим в уравнение: $$4\sin x + 0 - 0 - 4 = 0$$ $$4\sin x - 4 = 0$$ $$4\sin x = 4$$ $$\sin x = 1$$ Это выполняется для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Значит, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ являются решениями. Теперь вернемся к случаю, когда $\cos x \ne 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$: $$\frac{4\sin x}{\cos^2 x} + 1 - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{4}{\cos^2 x} = 0$$ $$\frac{4\sin x}{\cos^2 x} + 1 - \frac{2\sin x}{\cos x} - \frac{4}{\cos^2 x} = 0$$ Используем тождества $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$: $$4\tan x \cdot \frac{1}{\cos x} + 1 - 2\tan x - 4(1 + \tan^2 x) = 0$$ Это не очень удобно, так как остается $\frac{1}{\cos x}$. Вернемся к уравнению: $4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$ Заменим $4 = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$: $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$$ $$4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x = 0$$ $$4\sin x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x - 4\sin^2 x = 0$$ Это однородное уравнение второго порядка относительно $\sin x$ и $\cos x$. Разделим на $\cos^2 x$ (мы уже проверили, что $\cos x = 0$ приводит к решениям $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$). $$\frac{4\sin x}{\cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$4\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} - 2\frac{\sin x}{\cos x} - 3 - 4\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$4\tan x \cdot \sec x - 2\tan x - 3 - 4\tan^2 x = 0$$ Здесь все еще есть $\sec x$. Это не совсем однородное уравнение в привычном виде. Попробуем использовать универсальную подстановку $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$. $$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$$ $$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$\sin 2x = \frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}$$ $$\cos^2 x = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2$$ Подставим в уравнение: $$4\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 - \frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2} - 4 = 0$$ $$ \frac{8t(1+t^2)}{(1+t^2)^2} + \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} - \frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2} - \frac{4(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 0$$ Умножим все на $(1+t^2)^2$: $$8t(1+t^2) + (1-t^2)^2 - 4t(1-t^2) - 4(1+t^2)^2 = 0$$ $$8t + 8t^3 + 1 - 2t^2 + t^4 - 4t + 4t^3 - 4(1 + 2t^2 + t^4) = 0$$ $$8t + 8t^3 + 1 - 2t^2 + t^4 - 4t + 4t^3 - 4 - 8t^2 - 4t^4 = 0$$ Сгруппируем по степеням $t$: $$(t^4 - 4t^4) + (8t^3 + 4t^3) + (-2t^2 - 8t^2) + (8t - 4t) + (1 - 4) = 0$$ $$-3t^4 + 12t^3 - 10t^2 + 4t - 3 = 0$$ Умножим на -1: $$3t^4 - 12t^3 + 10t^2 - 4t + 3 = 0$$ Это уравнение четвертой степени. Возможно, есть более простой способ. Давай вернемся к уравнению: $4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$ Разложим $\cos^2 x$ как $1 - \sin^2 x$: $$4\sin x + (1 - \sin^2 x) - 2\sin x \cos x - 4 = 0$$ $$4\sin x - \sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3 = 0$$ Умножим на -1: $$\sin^2 x - 4\sin x + 2\sin x \cos x + 3 = 0$$ Попробуем заметить, что $3 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ в некоторых случаях, но это не очень помогает здесь. Рассмотрим уравнение $4\sin x + \cos^2 x - \sin 2x - 4 = 0$ Перепишем как: $4\sin x - 4 + \cos^2 x - \sin 2x = 0$ $$4(\sin x - 1) + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = 0$$ Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. В этом случае $\cos x = 0$ и $\sin 2x = 0$. Подставим $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ в исходное уравнение: $$4\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) - \sin\left(2\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)\right) - 4 = 0$$ $$4(1) + (0)^2 - \sin(\pi + 4\pi n) - 4 = 0$$ $$4 + 0 - 0 - 4 = 0$$ $$0 = 0$$ Это верное равенство. Значит, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ являются решениями уравнения. Давай проверим, есть ли другие решения. Перепишем уравнение еще раз: $4\sin x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x - 4 = 0$ Вынесем $\sin x$ из некоторых членов: $$4\sin x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x - 4 = 0$$ $$\sin x(4 - 2\cos x) + \cos^2 x - 4 = 0$$ $$\sin x(4 - 2\cos x) - (4 - \cos^2 x) = 0$$ $$\sin x(4 - 2\cos x) - (2 - \cos x)(2 + \cos x) = 0$$ Мы видим общий множитель $(2 - \cos x)$ или $(4 - 2\cos x) = 2(2 - \cos x)$. $$2\sin x(2 - \cos x) - (2 - \cos x)(2 + \cos x) = 0$$ Вынесем общий множитель $(2 - \cos x)$: $$(2 - \cos x)(2\sin x - (2 + \cos x)) = 0$$ $$(2 - \cos x)(2\sin x - 2 - \cos x) = 0$$ Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Случай 1: $2 - \cos x = 0$ $$\cos x = 2$$ Это уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \cos x \le 1$. Случай 2: $2\sin x - 2 - \cos x = 0$ $$2\sin x - \cos x = 2$$ Это однородное уравнение. Разделим обе части на $\sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$. $$\frac{2}{\sqrt{5}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{5}}\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ Пусть $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Тогда: $$\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ $$\sin(x - \alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ Мы знаем, что $\sin x = 1$ является решением. Если $x = \frac{\pi}{2}$, то $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Это соответствует нашему уравнению. Итак, у нас есть $\sin(x - \alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Пусть $\arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \beta$. Тогда $x - \alpha = \beta + 2\pi n$ или $x - \alpha = \pi - \beta + 2\pi n$. $x = \alpha + \beta + 2\pi n$ или $x = \alpha + \pi - \beta + 2\pi n$. Вспомним, что мы нашли решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Давай проверим, соответствуют ли они этому общему решению. Для $x = \frac{\pi}{2}$, $\sin x = 1$, $\cos x = 0$. Подставим в $2\sin x - \cos x = 2$: $$2(1) - 0 = 2$$ $$2 = 2$$ Это верно. Значит, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ являются решениями, которые мы уже нашли. Давайте проверим, есть ли другие решения из $2\sin x - \cos x = 2$. Из $\sin(x - \alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}}$ мы знаем, что $\sin(x - \alpha)$ должен быть равен $\cos \alpha$. А это значит, что $x - \alpha$ должно быть $\frac{\pi}{2} - \alpha + 2\pi n$ или $\pi - (\frac{\pi}{2} - \alpha) + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \alpha + 2\pi n$. Если $x - \alpha = \frac{\pi}{2} - \alpha + 2\pi n$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Если $x - \alpha = \frac{\pi}{2} + \alpha + 2\pi n$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\alpha + 2\pi n$. В этом случае $\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha)$. А $\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$. Подставим в $2\sin x - \cos x = 2$: $2\cos(2\alpha) - (-\sin(2\alpha)) = 2$ $2\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha) = 2$ Мы знаем, что $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$. $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$. $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$. Подставим эти значения: $$2\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{4}{5} = 2$$ $$\frac{6}{5} + \frac{4}{5} = 2$$ $$\frac{10}{5} = 2$$ $$2 = 2$$ Это тоже верное равенство. Значит, решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и $x = \frac{\pi}{2} + 2\alpha + 2\pi n$, где $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.