Ты просишь решить тригонометрическое уравнение 2-2cos²x + √3sinx = √3 - 2sin(x+π) и найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

Конечно, давай решим это уравнение вместе! **а) Решение уравнения** Нам дано уравнение: $$2 - 2\cos^2x + \sqrt{3}\sin x = \sqrt{3} - 2\sin(x + \pi)$$ Сначала упростим правую часть, используя свойство синуса: $$\sin(x + \pi) = -\sin x$$. Тогда уравнение примет вид: $$2 - 2\cos^2x + \sqrt{3}\sin x = \sqrt{3} + 2\sin x$$ Перенесем все в одну сторону: $$2 - 2\cos^2x + \sqrt{3}\sin x - \sqrt{3} - 2\sin x = 0$$ Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2x + \cos^2x = 1$$, значит, $$2\cos^2x = 2(1 - \sin^2x) = 2 - 2\sin^2x$$. Подставим это в уравнение: $$2 - (2 - 2\sin^2x) + \sqrt{3}\sin x - \sqrt{3} - 2\sin x = 0$$ $$2\sin^2x + (\sqrt{3} - 2)\sin x - \sqrt{3} = 0$$ Получили квадратное уравнение относительно $$\sin x$$. Пусть $$t = \sin x$$, тогда уравнение будет: $$2t^2 + (\sqrt{3} - 2)t - \sqrt{3} = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант: $$D = (\sqrt{3} - 2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-\sqrt{3}) = 3 - 4\sqrt{3} + 4 + 8\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}$$ Теперь найдем корни: $$t_1 = \frac{-((\sqrt{3} - 2)) + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3} + (2 + \sqrt{3})}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$t_2 = \frac{-((\sqrt{3} - 2)) - \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3} - (2 + \sqrt{3})}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Теперь вернемся к $$\sin x$$: 1) $$\sin x = 1$$, тогда $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ 2) $$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$, тогда $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$$ или $$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ **б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $$[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]$$** 1) Для $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$: Подставим разные значения $$k$$, чтобы найти корни в заданном отрезке. При $$k = -2$$: $$x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi$$. Этот корень принадлежит отрезку $$[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]$$ (\[-4\pi \approx -12.57; -\frac{5\pi}{2} \approx -7.85\]). При $$k = -1$$: $$x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi$$. Этот корень не принадлежит отрезку. 2) Для $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$$: При $$k = -2$$: $$x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} \approx -4.33\pi$$. Этот корень принадлежит отрезку. При $$k = -1$$: $$x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \approx -2.33\pi$$. Этот корень не принадлежит отрезку. 3) Для $$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$$: При $$k = -2$$: $$x = \frac{4\pi}{3} - 4\pi = -\frac{8\pi}{3} \approx -2.67\pi$$. Этот корень не принадлежит отрезку. При $$k = -1$$: $$x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -0.67\pi$$. Этот корень не принадлежит отрезку. **Ответ:** а) $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ б) $$x = -\frac{7\pi}{2}, x = -\frac{13\pi}{3}$$