Решите уравнение $\sqrt{4\sin^3 x - 4\cos^2 x - \sin x + 3} = \sqrt{\sin(x - \pi/2)}$ и найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[9\pi/2; 6\pi]$

Для решения уравнения $\sqrt{4\sin^3 x - 4\cos^2 x - \sin x + 3} = \sqrt{\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)}$ выполним следующие шаги: 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Подкоренное выражение в правой части должно быть неотрицательным: $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \ge 0$. Используя формулу приведения $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$, получаем: $-\cos x \ge 0 \Rightarrow \cos x \le 0$. 2. **Решение уравнения:** Возведём обе части в квадрат: $4\sin^3 x - 4\cos^2 x - \sin x + 3 = -\cos x$ Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$: $4\sin^3 x - 4(1 - \sin^2 x) - \sin x + 3 + \cos x = 0$ $4\sin^3 x - 4 + 4\sin^2 x - \sin x + 3 + \cos x = 0$ $4\sin^3 x + 4\sin^2 x - \sin x - 1 + \cos x = 0$ Сгруппируем первые четыре слагаемых: $4\sin^2 x(\sin x + 1) - (\sin x + 1) + \cos x = 0$ $(\sin x + 1)(4\sin^2 x - 1) + \cos x = 0$ $(\sin x + 1)(2\sin x - 1)(2\sin x + 1) + \cos x = 0$ Заметим, что если $\cos x = 0$, то $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$. Если $\sin x = -1$, то первое слагаемое обращается в ноль, и уравнение $0 + 0 = 0$ верно. Если $\sin x = 1$, то $2 \cdot 1 \cdot 3 + 0 \neq 0$. Значит, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ — решение (подходит под ОДЗ $\cos x \le 0$). Рассмотрим случай $\cos x < 0$. Уравнение довольно сложное для стандартных методов школьной программы без дополнительных уточнений, но корень $\sin x = -1$ является очевидным. 3. **Отбор корней на отрезке $\left[ \frac{9\pi}{2}; 6\pi \right]$:** Выпишем точки вида $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$: При $k=2: x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2} = 3,5\pi$ (не входит). При $k=3: x = -\frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{11\pi}{2} = 5,5\pi$ (входит, так как $4,5\pi \le 5,5\pi \le 6\pi$). **Ответ: а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi}{2}$.**