В треугольнике ABC точка M — середина стороны AC, $\angle BMA=90^\circ$, $\angle ABC=40^\circ$, $\angle BAM=70^\circ$. Найдите углы MBC и BCA.

1. Найдем угол $ \angle ABM $ в треугольнике $ \triangle ABM $. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам: $$ \angle ABM = 180^\circ - \angle BAM - \angle BMA = 180^\circ - 70^\circ - 90^\circ = 20^\circ $$ 2. Найдем угол $ \angle MBC $. Известно, что $ \angle ABC = 40^\circ $ и $ \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC $. $$ \angle MBC = \angle ABC - \angle ABM = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ $$ 3. Так как $ \angle ABM = \angle MBC = 20^\circ $, то отрезок $ BM $ является биссектрисой угла $ \angle ABC $. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle AMB $. $ AM = AB \cdot \cos(70^\circ) $ (поскольку $ \angle BMA = 90^\circ $). 5. Так как $ M $ — середина стороны $ AC $, то $ AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot AB \cdot \cos(70^\circ) $. 6. В треугольнике $ \triangle ABC $ по теореме синусов: $$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle BCA)} $$ $$ \frac{2 \cdot AB \cdot \cos(70^\circ)}{\sin(40^\circ)} = \frac{AB}{\sin(\angle BCA)} $$ $$ 2 \cdot \cos(70^\circ) \cdot \sin(\angle BCA) = \sin(40^\circ) $$ $$ \sin(\angle BCA) = \frac{\sin(40^\circ)}{2 \cdot \cos(70^\circ)} $$ Приближенные значения: $ \sin(40^\circ) \approx 0.6428 $ $ \cos(70^\circ) \approx 0.3420 $ $$ \sin(\angle BCA) \approx \frac{0.6428}{2 \cdot 0.3420} = \frac{0.6428}{0.684} \approx 0.9398 $$ $$ \angle BCA = \arcsin(0.9398) \approx 70^\circ $$ Так как $ \angle BAM = 70^\circ $ и $ \angle BCA \approx 70^\circ $, то $ \triangle ABC $ — равнобедренный с основанием $ BC $. **Ответ:** $ \angle MBC = 20^\circ $, $ \angle BCA \approx 70^\circ $