Вариант Б2. 1. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы. 2. Высота правильной четырехугольной призмы равна 1 дм, а площадь боковой поверхности равна 16 дм². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания.

### Задача 1 **Ответ:** $S_{\text{бок}} = 900\text{ см}^2$; $S_{\text{полн}} = 1200\text{ см}^2$ **Решение:** 1. Пусть в основании лежит $\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$, гипотенуза $c = 25\text{ см}$, катет $a = 20\text{ см}$. 2. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\text{ см}$. 3. Площадь основания (треугольника): $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150\text{ см}^2$. 4. Меньшая боковая грань — это прямоугольник со сторонами $h$ (высота призмы) и меньшим катетом $b = 15\text{ см}$. По условию она равновелика основанию: $S_{\text{гр}} = b \cdot h = S_{\text{осн}} \Rightarrow 15 \cdot h = 150 \Rightarrow h = 10\text{ см}$. 5. Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = (20 + 15 + 25) \cdot 10 = 60 \cdot 10 = 600\text{ см}^2$. *Примечание: Если «меньшая боковая грань» понимается как грань с наименьшей площадью, то расчет верный. Если имеется в виду грань, прилежащая к меньшему катету, то результат $600$.* 6. Площадь полной поверхности: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 600 + 2 \cdot 150 = 900\text{ см}^2$. *** ### Задача 2 **Ответ:** $4\sqrt{2}\text{ дм}^2$ **Решение:** 1. Призма правильная четырехугольная, значит в основании квадрат со стороной $a$. Высота $h = 1\text{ дм}$. 2. $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = 4a \cdot h = 16\text{ дм}^2$. Отсюда $4a \cdot 1 = 16 \Rightarrow a = 4\text{ дм}$. 3. Диагональ основания $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\text{ дм}$. 4. Сечение, проходящее через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего, является равнобедренным треугольником. Его основание — диагональ $d$, а высота $H_{\triangle}$ этого треугольника является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $h$ (высота призмы) и $m = \frac{d}{2}$ (половина диагонали) — это не совсем верно для поиска площади. Проще: высота сечения $H_{\text{сеч}}$ опущенная на диагональ основания, по теореме о трех перпендикулярах, вычисляется через высоту призмы и апофему или сторону. 5. В данном случае сечение — это треугольник с основанием $d = 4\sqrt{2}$ и высотой $L$. Высота сечения $L$ из вершины верхнего основания на диагональ нижнего: $L = \sqrt{h^2 + (a\sqrt{2})^2}$ — нет, это боковая сторона. Высота треугольника сечения падает в вершину основания. В правильной призме искомое сечение — треугольник, чья высота $L = \sqrt{h^2 + a^2}$ (если через сторону). Но проще: сечение — треугольник с основанием $d=4\sqrt{2}$ и высотой $h_{\text{тр}} = \sqrt{h^2 + (\frac{d}{2})^2}$ — нет. *Поправка:* Высота треугольника сечения, проведенная к диагонали основания, равна $\sqrt{h^2 + (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+8} = 3$. $S_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2}\text{ дм}^2$. *Второй вариант интерпретации:* Если сечение проходит через диагональ и ВСЮ сторону верхнего основания, то это прямоугольник. Но в тексте «вершину». Значит треугольник. Проверим расчет: сторона $a=4$, диагональ $d=4\sqrt{2}$. Высота из вершины верхнего основания на диагональ нижнего: $L = \sqrt{h^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ (наклонная над стороной). Правильная высота треугольника сечения к диагонали: $\sqrt{h^2 + (\frac{d}{2})^2} = 3$. Тогда $S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2}$.