Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы.

### Задача 1 **Ответ: $S_{\text{бок}} = 324\text{ см}^2$, $S_{\text{полн}} = (324 + 72\sqrt{3})\text{ см}^2$.** 1. Боковая грань правильной призмы — прямоугольник со сторонами $h = 9\text{ см}$ (ребро) и $a$ (сторона основания). По теореме Пифагора для диагонали грани: $a = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$. 2. Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = (3 \cdot 12) \cdot 9 = 36 \cdot 9 = 324\text{ см}^2$. 3. Площадь основания (равносторонний треугольник): $S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\text{ см}^2$. 4. Полная поверхность: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 324 + 2 \cdot 36\sqrt{3} = 324 + 72\sqrt{3}\text{ см}^2$. ### Задача 2 **Ответ: $60\text{ см}^2$.** 1. $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$. Вычислим периметр основания: $P_{\text{осн}} = \frac{S_{\text{бок}}}{h} = \frac{240}{10} = 24\text{ см}$. 2. Сторона ромба $a = \frac{P_{\text{осн}}}{4} = \frac{24}{4} = 6\text{ см}$. 3. Основание — ромб с углом $60^\circ$. Меньшая диагональ такого ромба разбивает его на два равносторонних треугольника, значит, $d_{\text{меньш}} = a = 6\text{ см}$. 4. Сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую диагональ, — прямоугольник. Его площадь: $S_{\text{сеч}} = d_{\text{меньш}} \cdot h = 6 \cdot 10 = 60\text{ см}^2$. ### Задача 3 **Ответ: $S_{\text{бок}} = 128\text{ см}^2$.** 1. Пусть $L$ — боковое ребро. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, ребром $L$ и проекцией ребра: $L = \frac{H}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\text{ см}$. 2. Боковые грани: две из них — ромбы со стороной $L=8$. Значит, стороны основания призмы также равны $8\text{ см}$ (так как в ромбе все стороны равны). Третья грань — квадрат, что подтверждает сторону основания $8\text{ см}$. Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $a = 8\text{ см}$. 3. Площади боковых граней: - Две грани — ромбы: $S_1 = S_2 = a \cdot L \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 32\text{ см}^2$. - Третья грань — квадрат: $S_3 = a \cdot L = 8 \cdot 8 = 64\text{ см}^2$. 4. $S_{\text{бок}} = S_1 + S_2 + S_3 = 32 + 32 + 64 = 128\text{ см}^2$.