1. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

**Задание 1** 1. Найдём второй катет основания по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\text{ (см)}$$ 2. Найдём площадь основания (прямоугольного треугольника): $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150\text{ (см}^2\text{)}$$ 3. Меньшая боковая грань — это прямоугольник со сторонами, равными меньшему катету (15 см) и высоте призмы $h$. По условию она равновелика основанию: $$S_{гр} = 15 \cdot h = 150 \Rightarrow h = 10\text{ (см)}$$ 4. Площадь боковой поверхности ($P_{осн} \cdot h$): $$S_{бок} = (20 + 15 + 25) \cdot 10 = 60 \cdot 10 = 600\text{ (см}^2\text{)}$$ 5. Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 600 + 2 \cdot 150 = 900\text{ (см}^2\text{)}$$ **Ответ:** $S_{бок} = 600\text{ см}^2$, $S_{полн} = 900\text{ см}^2$. *** **Задание 2** 1. Пусть сторона основания правильной призмы (квадрата) равна $a$, высота $h = 1\text{ дм}$. Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 4ah = 16 \Rightarrow 4 \cdot a \cdot 1 = 16 \Rightarrow a = 4\text{ (дм)}$$ 2. Диагональ основания ($d$) квадрата со стороной $a$: $$d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\text{ (дм)}$$ 3. Сечение, проходящее через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, является равнобедренным треугольником. Его основание — диагональ $d$, а высота треугольника ($m$) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $h$ (высота призмы) и $\frac{d}{2}$ (половина диагонали) — если вершина проецируется в центр, либо, если это сечение через диагональ и одну вершину, высотой треугольника будет апофема/наклонная. В данном случае высота сечения $H_{сеч}$ по теореме Пифагора: $$H_{сеч} = \sqrt{h^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}\text{ (дм)}$$ (так как высота падает на сторону основания). Однако, сечение проходит через диагональ $d$ и вершину. Высота этого треугольника $L$ строится к диагонали: $$L = \sqrt{h^2 + (\frac{d}{2})^2}$$ — нет, проще найти площадь через стороны. Стороны треугольника: $d=4\sqrt{2}$ и две наклонные (диагонали боковых граней) $l = \sqrt{a^2+h^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$. Высота треугольника сечения $H_{сеч}$ к основанию $d$: $$H_{сеч} = \sqrt{l^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{17 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17 - 8} = \sqrt{9} = 3\text{ (дм)}$$ 4. Площадь сечения: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2}\text{ (дм}^2\text{)}$$ **Ответ:** $6\sqrt{2}\text{ дм}^2$.