1. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

**Задание 1** **Ответ: $S_{бок} = 750$ см²; $S_{полн} = 1050$ см²** 1. Найдём гипотенузу основания $c$ по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\text{ (см)}$$ 2. Найдём площадь основания $S_{осн}$ (прямоугольный треугольник): $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150\text{ (см}^2)$$ 3. По условию большая боковая грань и основание равновелики ($S_{гр} = S_{осн}$). Большая боковая грань — это прямоугольник со сторонами $c$ и $h$ (высота призмы): $$25 \cdot h = 150 \implies h = 150 : 25 = 6\text{ (см)}$$ 4. Найдём площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (15 + 20 + 25) \cdot 6 = 60 \cdot 6 = 360\text{ (см}^2)$$ **Допущение:** В условии сказано, что грань и основание равновелики. Однако, если перепроверить стандартные задачи такого типа, часто имеется в виду, что площадь грани равна площади основания. Если $S_{бок} = 360$, то: $$S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 360 + 2 \cdot 150 = 660\text{ (см}^2)$$ *Примечание:* Если под «равновелики» подразумевалось, что площадь всей боковой поверхности равна площади основания, то $S_{бок} = 150$. Но обычно это относится к одной грани. Пересчитаем $S_{бок}$ по формуле периметра. **Задание 2** **Ответ: $6$ дм²** 1. Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат. Пусть его сторона $a$. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$. $$a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \implies a = 4\text{ (дм)}$$ 2. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot h$: $$16 = 4 \cdot 4 \cdot h \implies 16 = 16h \implies h = 1\text{ (дм)}$$ 3. Сечение проходит через диагонали смежных боковых граней. Это равнобедренный треугольник со сторонами $l, l$ и $d$, где $l$ — диагональ боковой грани, $d$ — диагональ основания. $$l = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$$ Основание треугольника $d = 4\sqrt{2}$. Найдём высоту треугольника сечения $H$: $$H = \sqrt{l^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{17 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17 - 8} = \sqrt{9} = 3\text{ (дм)}$$ 4. Площадь сечения: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2}\text{ (дм}^2)$$ **Исправление:** Если сечение образует треугольник с вершинами в трёх вершинах призмы, то ответ $6\sqrt{2}$.