1) Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 5 см, а диагональ боковой грани равна 13 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

1) **Ответ: $S_{бок} = 180$ см², $S_{полн} = 180 + 72\sqrt{3}$ см²** 1. Боковая грань — прямоугольник со сторонами $h = 5$ см (высота) и $a$ (сторона основания). 2. По теореме Пифагора из треугольника в боковой грани: $a^2 + h^2 = d^2 \Rightarrow a^2 + 5^2 = 13^2 \Rightarrow a^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow a = 12$ см. 3. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (3 \cdot 12) \cdot 5 = 180$ см². 4. Площадь основания (правильный треугольник): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см². 5. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 180 + 2 \cdot 36\sqrt{3} = 180 + 72\sqrt{3}$ см². 2) **Ответ: $72$ см²** 1. В основании ромб с острым углом $60^{\circ}$. Меньшая диагональ ромба делит его на два равносторонних треугольника. Значит, сторона ромба $a = d_{меньш} = 6$ см. 2. Большая диагональ ромба $D = 2 \cdot a \cdot \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. 3. Периметр основания $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см. 4. Высота призмы $h$ из площади боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h \Rightarrow 72\sqrt{3} = 24 \cdot h \Rightarrow h = 3\sqrt{3}$ см. 5. Сечение, проходящее через боковое ребро и большую диагональ — прямоугольник со сторонами $D$ и $h$. $S_{сеч} = D \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54$ см². 3) **Ответ: $10$** 1. Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. 2. Периметр основания $P = 3 + 4 + 5 = 12$. 3. Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$. 4. Формула полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} \Rightarrow 132 = P \cdot h + 2 \cdot 6$. 5. $132 = 12h + 12 \Rightarrow 12h = 120 \Rightarrow h = 10$.