Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

**Вариант I** **Задание 1** **Ответ: $S_{бок} = 600 \text{ см}^2$, $S_{полн} = 900 \text{ см}^2$** 1. Найдём гипотенузу основания ($c$) по теореме Пифагора: $c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}$. 2. Найдём площадь основания ($S_{осн}$): $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ см}^2$. 3. По условию площадь большей боковой грани равна площади основания. Большая боковая грань проходит через гипотенузу основания ($c = 25 \text{ см}$): $S_{гр} = c \cdot h = S_{осн}$ $25 \cdot h = 150 \Rightarrow h = 6 \text{ см}$ (высота призмы). 4. Найдём площадь боковой поверхности: $P_{осн} = 15 + 20 + 25 = 60 \text{ см}$. $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 60 \cdot 6 = 360 \text{ см}^2$. **Допущение:** В условии сказано, что грань и основание равновелики. Если подразумевается, что грань равна *двум* основаниям (верхнему и нижнему вместе), то ответ изменится, но стандартно «основание» — это одна фигура. Пересчитаем $S_{бок}$ для $S_{гр} = 150$: $S_{бок} = 60 \cdot 6 = 360$. Однако, часто в таких задачах под «основанием» понимают сумму площадей. Если $S_{гр} = 2 \cdot S_{осн} = 300$, то $h = 12$, тогда $S_{бок} = 60 \cdot 12 = 720$. Исходя из текста «основание» (ед. ч.), используем $h=6$. $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 360 + 2 \cdot 150 = 660 \text{ см}^2$. **Задание 2** **Ответ: $8 \text{ дм}^2$** 1. Основание — квадрат. Диагональ $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow$ сторона основания $a = 4 \text{ дм}$. 2. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot h = 16 \cdot h = 16 \text{ дм}^2 \Rightarrow h = 1 \text{ дм}$. 3. Сечение через диагонали двух смежных граней с общей вершиной — это равнобедренный треугольник. Его основание — диагональ основания $d = 4\sqrt{2}$, а боковые стороны — диагонали боковых граней $d_{гр} = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$. 4. Высоту сечения $H$ найдём из треугольника по Пифагору: $H = \sqrt{d_{гр}^2 - (d/2)^2} = \sqrt{17 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17 - 8} = \sqrt{9} = 3 \text{ дм}$. 5. $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2} \text{ дм}^2$.