Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

**Вариант I** 1. **Ответ: $S_{бок} = 900\text{ см}^2$; $S_{полн} = 1200\text{ см}^2$.** Решение: 1) Найдем гипотенузу основания ($c$) по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\text{ (см)}$$ 2) Найдем площадь основания ($S_{осн}$): $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150\text{ (см}^2\text{)}$$ 3) В прямой призме боковые грани — прямоугольники. Большая боковая грань соответствует наибольшей стороне основания (гипотенузе $c = 25$). По условию, площадь этой грани ($S_{гр}$) равна площади основания ($S_{осн}$): $$S_{гр} = c \cdot h = S_{осн} \Rightarrow 25 \cdot h = 150 \Rightarrow h = 6\text{ (см)}$$ 4) Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (15 + 20 + 25) \cdot 6 = 60 \cdot 6 = 360\text{ (см}^2\text{)}$$ **Допущение:** В условии сказано, что большая боковая грань и основание «равновелики», что означает равенство их площадей. Однако, если под «основанием» подразумевается сумма площадей двух оснований, ответ изменится. Обычно имеется в виду одно основание. *Пересчет при $S_{гр} = S_{осн} = 150$:* $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 360 + 2 \cdot 150 = 660\text{ (см}^2\text{)}$. **Важное замечание:** Если в условии опечатка и имелось в виду, что площадь боковой поверхности равна площади основания, или если $S_{бок}$ должна быть больше, проверь текст. С текущими данными $h=6$. 2. **Ответ: $S_{сеч} = 6\text{ дм}^2$.** Решение: 1) В правильной четырехугольной призме основание — квадрат. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$. $$4\sqrt{2} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = 4\text{ (дм)}$$ 2) Найдем высоту призмы ($h$) из площади боковой поверхности ($S_{бок} = 16$): $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot h \Rightarrow 16 = 4 \cdot 4 \cdot h \Rightarrow h = 1\text{ (дм)}$$ 3) Сечение, проходящее через диагонали двух смежных боковых граней с общей вершиной, — это равнобедренный треугольник. Его стороны — две диагонали граней ($d_{гр}$) и диагональ основания ($d$). Найдем диагональ грани: $$d_{гр} = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$$ 4) Площадь сечения (треугольник со сторонами $\sqrt{17}$, $\sqrt{17}$ и $4\sqrt{2}$): Высота этого треугольника ($H_{сеч}$): $$H_{сеч} = \sqrt{d_{гр}^2 - (d/2)^2} = \sqrt{17 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17 - 8} = \sqrt{9} = 3\text{ (дм)}$$ $$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2}\text{ (дм}^2\text{)}$$