Докажите, что функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x), если F(x)=0,2x⁵-x³+7, f(x)=x⁴-3x²

Для решения заданий на первообразную воспользуемся правилом: функция $F(x)$ называется первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. **Вариант-1** 1. Найдём производную функции $F(x) = 0,2x^5 - x^3 + 7$: $F'(x) = (0,2x^5 - x^3 + 7)' = 0,2 \cdot 5x^4 - 3x^2 + 0 = x^4 - 3x^2$ Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. 2. Найдём общие первообразные $F(x) = \int f(x) dx$: 1) $f(x) = \frac{1}{x^2} + x^4 = x^{-2} + x^4 \Rightarrow F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^5}{5} + C = -\frac{1}{x} + 0,2x^5 + C$ 2) $f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{3}) \Rightarrow F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + C$ 3. 1) Найдём общую первообразную для $f(x) = 6x^2 - 4x + 1$: $F(x) = \int (6x^2 - 4x + 1) dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = 2x^3 - 2x^2 + x + C$ 2) Подставим координаты точки $A(1; -3)$, где $x=1, F(x)=-3$: $-3 = 2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + C \Rightarrow -3 = 2 - 2 + 1 + C \Rightarrow -3 = 1 + C \Rightarrow C = -4$ **Ответ:** $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x - 4$ **Вариант-2** 1. Найдём производную функции $F(x) = 0,3x^{10} + 2x^7 - 4x$: $F'(x) = (0,3x^{10} + 2x^7 - 4x)' = 0,3 \cdot 10x^9 + 2 \cdot 7x^6 - 4 = 3x^9 + 14x^6 - 4$ Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. 2. Найдём общие первообразные: 1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \Rightarrow F(x) = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$ 2) $f(x) = -\sin(x + \frac{\pi}{4}) \Rightarrow F(x) = \cos(x + \frac{\pi}{4}) + C$ 3. 1) Найдём общую первообразную для $f(x) = 2x^2 - 2x - 5$: $F(x) = \int (2x^2 - 2x - 5) dx = \frac{2x^3}{3} - x^2 - 5x + C$ 2) Подставим координаты точки $A(2; -1)$: $-1 = \frac{2 \cdot 2^3}{3} - 2^2 - 5 \cdot 2 + C \Rightarrow -1 = \frac{16}{3} - 4 - 10 + C \Rightarrow -1 = 5\frac{1}{3} - 14 + C \Rightarrow -1 = -8\frac{2}{3} + C \Rightarrow C = 7\frac{2}{3}$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 5x + 7\frac{2}{3}$