Является ли функция F(x) первообразной для f(x) на указанном промежутке; Найдите первообразную для следующих функций.

Question

Вопрос:

Является ли функция F(x) первообразной для f(x) на указанном промежутке; Найдите первообразную для следующих функций.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. **Ответ: Да, является.** Чтобы проверить, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$: $F'(x) = (6 \sin x - 4x^2)' = 6 \cos x - 4 \cdot 2x = 6 \cos x - 8x$ Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. 2. **Найдите первообразную для следующих функций:** (используем общую формулу $F(x) = \int f(x) dx + C$) 1) $f(x) = 132$ $F(x) = 132x + C$ 2) $f(x) = x^{11}$ $F(x) = \frac{x^{12}}{12} + C$ 3) $f(x) = 9x^{-10}$ $F(x) = 9 \cdot \frac{x^{-9}}{-9} + C = -x^{-9} + C = -\frac{1}{x^9} + C$ 4) $f(x) = -2x + 6x^9 - 0,5$ $F(x) = -2 \cdot \frac{x^2}{2} + 6 \cdot \frac{x^{10}}{10} - 0,5x + C = -x^2 + 0,6x^{10} - 0,5x + C$ 5) $f(x) = \frac{2}{5}x + \cos x$ $F(x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^2}{2} + \sin x + C = \frac{1}{5}x^2 + \sin x + C = 0,2x^2 + \sin x + C$ 6) $f(x) = (2 - 6x)^5$ Применяем правило для сложной функции с линейным аргументом $kx+b$: $F(x) = \frac{1}{-6} \cdot \frac{(2 - 6x)^6}{6} + C = -\frac{(2 - 6x)^6}{36} + C$ 7) $f(x) = x^5 \cdot (x^3 + 1)$ Сначала раскроем скобки: $f(x) = x^8 + x^5$ $F(x) = \frac{x^9}{9} + \frac{x^6}{6} + C$

Является ли функция F(x) первообразной для f(x) на указанном промежутке; Найдите первообразную для следующих функций.

Ответ ассистента

Другие решения