Найдите общий вид первообразных для функции f (342-344).

Для решения этих задач воспользуемся таблицей первообразных и правилами нахождения первообразных. **342. Найдите общий вид первообразных для функции $f$:** а) $f(x) = 2 - x^3 + \frac{1}{x^3} = 2 - x^3 + x^{-3}$ **Ответ:** $F(x) = 2x - \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2} + C$ б) $f(x) = x - \frac{2}{x^5} + \cos x = x - 2x^{-5} + \cos x$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C$ в) $f(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x = x^{-2} - \sin x$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{x} + \cos x + C$ г) $f(x) = 5x^2 - 1$ **Ответ:** $F(x) = \frac{5x^3}{3} - x + C$ **343. Найдите общий вид первообразных (используем правило $F(kx+b) = \frac{1}{k}P(kx+b)$):** а) $f(x) = (2x - 3)^5$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^6}{6} + C = \frac{(2x - 3)^6}{12} + C$ б) $f(x) = 3 \sin 2x$ **Ответ:** $F(x) = 3 \cdot (-\frac{1}{2} \cos 2x) + C = -1,5 \cos 2x + C$ в) $f(x) = (4 - 5x)^7$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{5} \cdot \frac{(4 - 5x)^8}{8} + C = -\frac{(4 - 5x)^8}{40} + C$ г) $f(x) = -\frac{1}{3} \cos (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4})$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3 \sin (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) + C = -\sin (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) + C$ **344.** а) $f(x) = \frac{3}{(4 - 15x)^4} = 3(4 - 15x)^{-4}$ **Ответ:** $F(x) = 3 \cdot (-\frac{1}{15}) \cdot \frac{(4 - 15x)^{-3}}{-3} + C = \frac{1}{15(4 - 15x)^3} + C$ б) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 (\frac{\pi}{3} - x)}$ **Ответ:** $F(x) = 2 \cdot (-1) \tan (\frac{\pi}{3} - x) + C = -2 \tan (\frac{\pi}{3} - x) + C$ в) $f(x) = \frac{4}{(3x - 1)^2} = 4(3x - 1)^{-2}$ **Ответ:** $F(x) = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{4}{3(3x - 1)} + C$ г) $f(x) = -\frac{2}{x^5} + \frac{1}{\cos^2 (3x - 1)} = -2x^{-5} + \frac{1}{\cos^2 (3x - 1)}$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3} \tan (3x - 1) + C$ **345. Найдите первообразную, проходящую через точку $M$:** а) $f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}$. Общий вид: $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + C$. Подставим $M(-1; 4)$: $4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \Rightarrow 4 = 2 + 1 + C \Rightarrow C = 1$. **Ответ:** $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$ б) $f(x) = x^3 + 2$. Общий вид: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + C$. Подставим $M(2; 15)$: $15 = \frac{2^4}{4} + 2(2) + C \Rightarrow 15 = 4 + 4 + C \Rightarrow C = 7$. **Ответ:** $F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7$