Найдите общий вид первообразных для функции f (335-336).

Для решения этих задач воспользуемся правилами нахождения первообразных: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, $\int \cos x dx = \sin x + C$, $\int \sin x dx = -\cos x + C$. **№335. Найдите общий вид первообразных для функции $f$:** а) $f(x) = 2 - x^4$ **Ответ:** $F(x) = 2x - \frac{x^5}{5} + C$ б) $f(x) = x + \cos x$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^2}{2} + \sin x + C$ в) $f(x) = 4x$ **Ответ:** $F(x) = 2x^2 + C$ г) $f(x) = -3$ **Ответ:** $F(x) = -3x + C$ **№336. Найдите общий вид первообразных для функции $f$:** а) $f(x) = x^6$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^7}{7} + C$ б) $f(x) = \frac{1}{x^3} - 2 = x^{-3} - 2$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^{-2}}{-2} - 2x + C = -\frac{1}{2x^2} - 2x + C$ в) $f(x) = 1 - \frac{1}{x^4} = 1 - x^{-4}$ **Ответ:** $F(x) = x - \frac{x^{-3}}{-3} + C = x + \frac{1}{3x^3} + C$ г) $f(x) = x^5$ **Ответ:** $F(x) = \frac{x^6}{6} + C$ **№337. Найдите первообразную $F$, принимающую заданное значение в указанной точке:** а) $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $F(\frac{1}{2}) = -12$ Общий вид: $F(x) = -\frac{1}{x} + C$ Подставим точку: $-1/(\frac{1}{2}) + C = -12 \Rightarrow -2 + C = -12 \Rightarrow C = -10$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{x} - 10$ б) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $F(\frac{\pi}{4}) = 0$ Общий вид: $F(x) = \text{tg } x + C$ Подставим точку: $\text{tg }(\frac{\pi}{4}) + C = 0 \Rightarrow 1 + C = 0 \Rightarrow C = -1$ **Ответ:** $F(x) = \text{tg } x - 1$ в) $f(x) = x^3$, $F(-1) = 2$ Общий вид: $F(x) = \frac{x^4}{4} + C$ Подставим точку: $\frac{(-1)^4}{4} + C = 2 \Rightarrow 0,25 + C = 2 \Rightarrow C = 1,75$ **Ответ:** $F(x) = 0,25x^4 + 1,75$ г) $f(x) = \sin x$, $F(-\pi) = -1$ Общий вид: $F(x) = -\cos x + C$ Подставим точку: $-\cos(-\pi) + C = -1 \Rightarrow -(-1) + C = -1 \Rightarrow 1 + C = -1 \Rightarrow C = -2$ **Ответ:** $F(x) = -\cos x - 2$ **№338. Проверьте, что функция $F$ является первообразной для функции $f$:** (Нужно показать, что $F'(x) = f(x)$) а) $F(x) = \sin x - x \cos x$, $f(x) = x \sin x$ $F'(x) = (\sin x)' - (x \cos x)' = \cos x - (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) = \cos x - \cos x + x \sin x = x \sin x = f(x)$. Верно. Общий вид: $F(x) = \sin x - x \cos x + C$ б) $F(x) = \sqrt{x^2+1}$, $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ $F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = f(x)$. Верно. Общий вид: $F(x) = \sqrt{x^2+1} + C$