Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна к стороне AD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 12 см, ∠A = 41°

**Ответ: \approx 94,48 \text{ см}^2** **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как по условию диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AD$, то $\triangle ABD$ — прямоугольный ($\\angle ADB = 90^\circ$). 2. В прямоугольном треугольнике $ABD$ гипотенузой является сторона $AB = 12 \text{ см}$. Найдём катеты $BD$ (высота параллелограмма) и $AD$ (основание параллелограмма) через синус и косинус острого угла $A = 41^\circ$: - $BD = AB \cdot \sin A = 12 \cdot \sin 41^\circ$ - $AD = AB \cdot \cos A = 12 \cdot \cos 41^\circ$ 3. Площадь параллелограмма $S$ вычисляется как произведение основания на высоту: $S = AD \cdot BD = (12 \cdot \cos 41^\circ) \cdot (12 \cdot \sin 41^\circ) = 144 \cdot \sin 41^\circ \cdot \cos 41^\circ$ 4. Используем формулу двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, тогда $\sin 41^\circ \cos 41^\circ = \frac{1}{2} \sin 82^\circ$: $S = 144 \cdot \frac{1}{2} \sin 82^\circ = 72 \cdot \sin 82^\circ$ 5. Вычислим значение (приблизительно $\sin 82^\circ \approx 0,9903$): $S \approx 72 \cdot 0,9903 \approx 71,30$ **Поправка:** Если считать по определению площади через две стороны и синус угла между ними ($S = AB \cdot AD \cdot \sin A$), то сначала нужно найти $AD$ из прямоугольного треугольника: $AD = 12 \cdot \cos 41^\circ \approx 12 \cdot 0,7547 \approx 9,056 \text{ см}$. $S = 12 \cdot 9,056 \cdot \sin 41^\circ \approx 108,67 \cdot 0,6561 \approx 71,30 \text{ см}^2$. Однако, в параллелограмме высота к основанию $AD$ — это и есть диагональ $BD$. $BD = 12 \cdot \sin 41^\circ \approx 12 \cdot 0,6561 \approx 7,873 \text{ см}$. $S = AD \cdot BD = 9,056 \cdot 7,873 \approx 71,30 \text{ см}^2$.