В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне AB.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию $BD \perp AB$, значит, $\triangle ABD$ — прямоугольный с прямым углом $B$ ($90^\circ$). 2. В прямоугольном треугольнике $ABD$ гипотенуза $AD = 12$ см, а угол $\angle BAD = 47^\circ 50'$. 3. Найдем катеты треугольника: $AB = AD \cdot \cos \angle BAD = 12 \cdot \cos 47^\circ 50'$ $BD = AD \cdot \sin \angle BAD = 12 \cdot \sin 47^\circ 50'$ 4. Площадь параллелограмма $ABCD$ можно найти как произведение сторон на синус угла между ними или через высоту. Но в данном случае проще заметить, что диагональ $BD$ является высотой к стороне $AB$, так как $BD \perp AB$. $S = AB \cdot BD = (12 \cdot \cos 47^\circ 50') \cdot (12 \cdot \sin 47^\circ 50')$ 5. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, тогда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$: $S = 144 \cdot \sin 47^\circ 50' \cdot \cos 47^\circ 50' = 144 \cdot \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 47^\circ 50') = 72 \cdot \sin(94^\circ 100') = 72 \cdot \sin 95^\circ 40'$ 6. Вычислим значение (приблизительно): $47^\circ 50' \approx 47,833^\circ$ $S = 72 \cdot \sin 95,666^\circ \approx 72 \cdot 0,9951 \approx 71,65$ см$^2$. **Ответ:** $72 \sin 95^\circ 40'$ см$^2$ (или $\approx 71,65$ см$^2$).