Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если сторона $AD$ равна 12 см, угол $BAD$ равен $47^\circ50'$, и диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$.

В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ равна 12 см, угол $BAD$ равен $47^\circ50'$. Диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. 1. Найдем угол $ABD$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ (так как $BD \perp AB$): $$\angle ABD = 90^\circ - \angle BAD = 90^\circ - 47^\circ50'$$ Для вычисления отнимем $47^\circ50'$ от $90^\circ = 89^\circ60'$: $$89^\circ60' - 47^\circ50' = (89-47)^\circ(60-50)' = 42^\circ10'$$ Значит, $\angle ABD = 42^\circ10'$. 2. Найдем сторону $AB$. В прямоугольном треугольнике $ABD$: $$\cos(\angle BAD) = \frac{AB}{AD}$$ $$AB = AD \cdot \cos(\angle BAD) = 12 \cdot \cos(47^\circ50')$$ Используя приближенное значение $\cos(47^\circ50') \approx 0.6713$, получим: $$AB \approx 12 \cdot 0.6713 \approx 8.0556 \text{ см}$$ 3. Найдем диагональ $BD$. В прямоугольном треугольнике $ABD$: $$\sin(\angle BAD) = \frac{BD}{AD}$$ $$BD = AD \cdot \sin(\angle BAD) = 12 \cdot \sin(47^\circ50')$$ Используя приближенное значение $\sin(47^\circ50') \approx 0.7410$, получим: $$BD \approx 12 \cdot 0.7410 \approx 8.892 \text{ см}$$ 4. Найдем площадь параллелограмма $ABCD$. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними. Или, так как диагональ $BD$ делит параллелограмм на два равных треугольника $ABD$ и $BCD$, и $ABD$ прямоугольный, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ABD$. $$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = AB \cdot BD$$ $$S_{ABCD} \approx 8.0556 \cdot 8.892 \approx 71.63 \text{ см}^2$$ **Ответ:** Площадь параллелограмма приблизительно равна $71.63 \text{ см}^2$.