В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне AB.

**Ответ: 36,94\,см^2** **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$, значит, треугольник $ABD$ — прямоугольный ($∠ABD = 90^\circ$). 2. В этом треугольнике сторона $AD$ является гипотенузой, а $BD$ и $AB$ — катетами. Нам известен угол $∠BAD = 47^\circ 50'$. 3. Найдем катеты через гипотенузу и синус/косинус угла: $AB = AD \cdot \cos(47^\circ 50') = 12 \cdot \cos(47,833^\circ) \approx 12 \cdot 0,6713 \approx 8,056\,см$ $BD = AD \cdot \sin(47^\circ 50') = 12 \cdot \sin(47,833^\circ) \approx 12 \cdot 0,7412 \approx 8,894\,см$ 4. Площадь параллелограмма можно найти как удвоенную площадь треугольника $ABD$ (так как диагональ делит его на два равных треугольника) или как произведение основания $AB$ на высоту $BD$ (так как $BD \perp AB$, она является высотой к стороне $AB$): $S = AB \cdot BD = 8,056 \cdot 8,894 \approx 71,65\,см^2$ **Альтернативный способ (через сторону и прилежащий угол):** В прямоугольном треугольнике $ABD$ высота $h$ к основанию $AD$ равна: $h = AB \cdot \sin(47^\circ 50')$. Но проще использовать формулу $S = AB \cdot BD$. **Уточнение:** Обычно площадь параллелограмма ищут как $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$. Здесь $AD = 12$. Найдем $AB$ из $\triangle ABD$: $AB = AD \cdot \cos(47^\circ 50')$. $S = AB \cdot AD \cdot \sin(47^\circ 50') = (12 \cdot \cos 47^\circ 50') \cdot 12 \cdot \sin 47^\circ 50' = 144 \cdot \sin 47^\circ 50' \cdot \cos 47^\circ 50' = 72 \cdot \sin(95^\circ 40')$. $S = 72 \cdot 0,9951 \approx 71,65\,см^2$.