В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC=46° и ∠ABC=78°.

1. **Ответ: 28°** 1) Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180°$. Найдём угол $C$ (или $\angle ACB$): $\angle C = 180° - (\angle BAC + \angle ABC) = 180° - (46° + 78°) = 180° - 124° = 56°$. 2) Так как $CE$ — биссектриса, она делит угол $C$ пополам: $\angle BCE = \angle C : 2 = 56° : 2 = 28°$. 2. **Ответ: 38°** 1) Рассмотрим треугольник $ABL$. Сумма его углов равна $180°$. Найдём $\angle BAL$: $\angle BAL = 180° - (\angle ABL + \angle ALB) = 180° - (101° + 121°)$ — так как сумма углов больше $180°$ ($222°$), такое условие геометрически невозможно в евклидовой геометрии. **Допущение:** Вероятно, в условии ошибка в значениях. Если предположить, что $\angle ALC$ — внешний угол для $\triangle ABL$, то $\angle ALC = \angle ABL + \angle BAL$ (не подходит). Если решать через смежный угол: $\angle ALB = 180° - 121° = 59°$. Тогда в $\triangle ABL$: $\angle BAL = 180° - (101° + 59°) = 20°$. 2) Так как $AL$ — биссектриса, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 20° = 40°$. 3) В $\triangle ABC$: $\angle ACB = 180° - (\angle BAC + \angle ABC) = 180° - (40° + 101°) = 39°$. *Примечание: При $\angle ALC = 121°$ и $\angle ABC = 101°$ в треугольнике $ALC$: $\angle LAC = 20°$, $\angle LCA = 180 - 121 - 20 = 39°$.* 3. **Ответ: 12 см** 1) В равнобедренном треугольнике медиана $AM$, проведённая к основанию $BC$, является также высотой и биссектрисой. Значит, $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. 2) Периметр $ABC$: $P_{ABC} = AB + AC + BC = 40$ см. Так как $AB = AC$, то $2 \cdot AB + BC = 40$. 3) Периметр $ABM$: $P_{ABM} = AB + BM + AM = 32$ см. Заметим, что $AB + BM = AB + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (2 \cdot AB + BC) = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$ см. 4) Найдём $AM$: $AM = P_{ABM} - (AB + BM) = 32 - 20 = 12$ см. 4. **Ответ: 71°** Сумма углов треугольника равна $180°$. Третий угол $= 180° - (36° + 73°) = 180° - 109° = 71°$. 5. **Ответ: 30 см и 30 см** 1) Если внешние углы при двух вершинах равны, то и внутренние углы при этих вершинах равны. Значит, треугольник равнобедренный. 2) Пусть боковые стороны равны $x$, а основание $18$ см. $x + x + 18 = 78 \Rightarrow 2x = 60 \Rightarrow x = 30$ см. (Проверка: $30+30 > 18$ — существует). 3) Пусть основание $x$, а боковые стороны по $18$ см. $18 + 18 + x = 78 \Rightarrow 36 + x = 78 \Rightarrow x = 42$ см. (Проверка: $18+18 < 42$ — такой треугольник не существует). Следовательно, стороны равны 30 см и 30 см.