В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 56 см, а периметр треугольника ABM равен 42 см.

1. **Ответ: 14 см** Пусть $AB = AC = a$ и $BC = b$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный и $AM$ — медиана к основанию, то $BM = MC = \frac{b}{2}$ и $AM \perp BC$. Периметр $\triangle ABC$: $P_{ABC} = 2a + b = 56$ Периметр $\triangle ABM$: $P_{ABM} = a + \frac{b}{2} + AM = 42$ Умножим второе уравнение на 2: $2a + b + 2AM = 84$ Подставим значение $2a + b = 56$ в полученное уравнение: $56 + 2AM = 84$ $2AM = 84 - 56$ $2AM = 28$ $AM = 14$ 2. **Ответ: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$** Пусть высоты $BK$ (к $AC$) и $CH$ (к $AB$) пересекаются в точке $M$. Рассмотрим четырехугольник $AKMH$. Сумма его углов равна $360^\circ$. Так как $\angle AKM = \angle AHM = 90^\circ$, а вертикальный угол к $\angle BMC$ это $\angle KMH = 140^\circ$, то: $\angle A = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ Так как треугольник равнобедренный, углы при основании $B$ и $C$ равны: $\angle B = \angle C = (180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$ 3. **Ответ: $10^\circ$** 1) Найдём угол $B$ в $\triangle ABC$: $\angle B = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 80^\circ$ 2) Так как $BD$ — биссектриса, то $\angle ABD = \angle DBC = 80^\circ : 2 = 40^\circ$. 3) Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABH$ (где $BH$ — высота): $\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$ 4) Искомый угол между высотой и биссектрисой: $\angle HBD = |\angle ABH - \angle ABD| = |50^\circ - 40^\circ| = 10^\circ$