В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 56 см, а периметр треугольника ABM равен 42 см.

1. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CE$. Найдите величину угла $BCE$, если $\angle BAC = 46^{\circ}$ и $\angle ABC = 78^{\circ}$. Решение: 1) По сумме углов треугольника $\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^{\circ} - (46^{\circ} + 78^{\circ}) = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$. 2) Так как $CE$ — биссектриса, то $\angle BCE = \angle ACB : 2 = 56^{\circ} : 2 = 28^{\circ}$. **Ответ: $28^{\circ}$**. 2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ проведена медиана $AM$. Найдите медиану $AM$, если периметр треугольника $ABC$ равен 56 см, а периметр треугольника $ABM$ равен 42 см. Решение: 1) В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ боковые стороны $AB = AC$. Медиана $AM$, проведенная к основанию, делит его пополам: $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. 2) Периметр $ABC$: $P_{ABC} = AB + AC + BC = 2AB + BC = 56$ см. Отсюда $AB + \frac{1}{2} BC = 56 : 2 = 28$ см. 3) Заметим, что $AB + BM = AB + \frac{1}{2} BC = 28$ см. 4) Периметр $ABM$: $P_{ABM} = AB + BM + AM = 42$ см. 5) Подставим сумму $(AB + BM)$ в уравнение периметра $ABM$: $28 + AM = 42$, откуда $AM = 42 - 28 = 14$ см. **Ответ: 14 см**.