1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 40 см, а периметр треугольника ABM равен 32 см.

1. **Ответ: 12 см** В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $BC$ медиана $AM$ также является высотой и биссектрисой. Боковые стороны $AB = AC$. Периметр $\triangle ABC$: $P_{ABC} = AB + AC + BC = 2AB + BC = 40$ см. Медиана $AM$ делит основание пополам: $BM = MC = \frac{BC}{2}$. Периметр $\triangle ABM$: $P_{ABM} = AB + BM + AM = AB + \frac{BC}{2} + AM = 32$ см. Заметим, что $P_{ABC} = 2(AB + \frac{BC}{2}) = 40$, следовательно, $AB + \frac{BC}{2} = 20$. Подставим это в уравнение периметра $\triangle ABM$: $20 + AM = 32$ $AM = 32 - 20 = 12$ см. 2. **Ответ: 14 см** Аналогично первой задаче: $P_{ABC} = 2(AB + BM) = 56 \Rightarrow AB + BM = 28$. $P_{ABM} = AB + BM + AM = 42$. $28 + AM = 42$ $AM = 42 - 28 = 14$ см. 3. **Ответ: 128°** В $\triangle ABC$ стороны $AB = BC$, значит он равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$: $\angle A + \angle C = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. $\angle A = \angle C = 104^{\circ} : 2 = 52^{\circ}$. Так как $AM$ и $CM$ — биссектрисы, то в $\triangle AMC$: $\angle MAC = \frac{1}{2} \angle A = 26^{\circ}$, $\angle MCA = \frac{1}{2} \angle C = 26^{\circ}$. $\angle AMC = 180^{\circ} - (26^{\circ} + 26^{\circ}) = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$. 4. **Ответ: 134°** Аналогично третьей задаче: $\angle A = \angle C = (180^{\circ} - 88^{\circ}) : 2 = 92^{\circ} : 2 = 46^{\circ}$. В $\triangle AMC$: $\angle MAC = 46^{\circ} : 2 = 23^{\circ}$, $\angle MCA = 46^{\circ} : 2 = 23^{\circ}$. $\angle AMC = 180^{\circ} - (23^{\circ} + 23^{\circ}) = 180^{\circ} - 46^{\circ} = 134^{\circ}$.