1. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 117°. Найдите углы равнобедренного треугольника.

1. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен $117^\circ$. Найдите углы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Также внешний угол и внутренний угол, смежный с ним, в сумме дают $180^\circ$. **Вариант 1:** Внешний угол равен $117^\circ$ и смежен с углом при основании. Пусть угол при основании равен $\alpha$. Тогда $\alpha = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$. Так как углы при основании равны, то второй угол при основании тоже $63^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Тогда третий угол (угол при вершине) равен $180^\circ - 63^\circ - 63^\circ = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$. **Вариант 2:** Внешний угол равен $117^\circ$ и смежен с углом при вершине. Пусть угол при вершине равен $\beta$. Тогда $\beta = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$. Углы при основании равны. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Пусть углы при основании равны $\alpha$. Тогда $2\alpha + \beta = 180^\circ$. $2\alpha + 63^\circ = 180^\circ$ $2\alpha = 180^\circ - 63^\circ$ $2\alpha = 117^\circ$ $\alpha = 117^\circ / 2 = 58.5^\circ$. Так как углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, то $2\alpha = 117^\circ$. Это возможно, только если внешний угол смежен с углом при вершине, а внутренние углы при основании равны $58.5^\circ$. При этом угол при вершине равен $63^\circ$. **Ответ:** Углы треугольника могут быть $63^\circ, 63^\circ, 54^\circ$ или $58.5^\circ, 58.5^\circ, 63^\circ$. 2. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен $117^\circ$. Найдите углы равнобедренного треугольника. Данное задание повторяется. Решение приведено выше. 3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в четыре раза больше угла, противолежащего основанию. Пусть угол, противолежащий основанию (угол при вершине), равен $x$. Тогда угол при основании равен $4x$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому два угла равны $4x$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. $x + 4x + 4x = 180^\circ$ $9x = 180^\circ$ $x = 180^\circ / 9$ $x = 20^\circ$ Тогда углы треугольника будут: Угол при вершине: $20^\circ$ Углы при основании: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$ Проверка: $20^\circ + 80^\circ + 80^\circ = 180^\circ$. **Ответ:** Углы треугольника: $20^\circ, 80^\circ, 80^\circ$. 4. В треугольнике ABC угол A равен $90^\circ$, а угол C на $40^\circ$ больше угла В. Найдите угол В и С. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. У нас дан прямой угол A ($90^\circ$). Значит, $\angle B + \angle C = 90^\circ$. Также дано, что угол C на $40^\circ$ больше угла B, то есть $\angle C = \angle B + 40^\circ$. Подставим второе уравнение в первое: $\angle B + (\angle B + 40^\circ) = 90^\circ$ $2 \angle B + 40^\circ = 90^\circ$ $2 \angle B = 90^\circ - 40^\circ$ $2 \angle B = 50^\circ$ $\angle B = 50^\circ / 2$ $\angle B = 25^\circ$ Теперь найдем угол C: $\angle C = \angle B + 40^\circ = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$ Проверка: $90^\circ + 25^\circ + 65^\circ = 180^\circ$. **Ответ:** Угол B = $25^\circ$, Угол C = $65^\circ$. 5. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника. Обозначим стороны равнобедренного треугольника как $a, a, b$, где $a$ — боковые стороны, $b$ — основание. Периметр $P = 2a + b = 50$ см. Есть два случая, когда одна сторона на 13 см меньше другой: **Случай 1:** Боковая сторона на 13 см меньше основания ($a = b - 13$). Тогда $b = a + 13$. Подставляем в формулу периметра: $2a + (a + 13) = 50$ $3a + 13 = 50$ $3a = 50 - 13$ $3a = 37$ $a = 37/3 \approx 12.33$ см. Теперь найдем основание $b$: $b = a + 13 = 37/3 + 13 = 37/3 + 39/3 = 76/3 \approx 25.33$ см. Проверим неравенство треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны. $a + a > b \Rightarrow 37/3 + 37/3 > 76/3 \Rightarrow 74/3 > 76/3$. Это неверно, так как $74 < 76$. Значит, такой треугольник не существует. **Случай 2:** Основание на 13 см меньше боковой стороны ($b = a - 13$). Подставляем в формулу периметра: $2a + (a - 13) = 50$ $3a - 13 = 50$ $3a = 50 + 13$ $3a = 63$ $a = 63 / 3$ $a = 21$ см. Теперь найдем основание $b$: $b = a - 13 = 21 - 13 = 8$ см. Проверим неравенство треугольника: $a + a > b \Rightarrow 21 + 21 > 8 \Rightarrow 42 > 8$ (верно) $a + b > a \Rightarrow 21 + 8 > 21 \Rightarrow 29 > 21$ (верно) Все условия выполнены. **Ответ:** Стороны треугольника: 21 см, 21 см, 8 см.