1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB угол C в 4 раза больше угла A. Найдите величину внешнего угла при вершине B.

1. Пусть $\angle A = x$. Так как треугольник равнобедренный с основанием $AB$, то $\angle B = \angle A = x$. По условию $\angle C = 4x$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$: $x + x + 4x = 180^{\circ}$ $6x = 180^{\circ}$ $x = 30^{\circ}$ (это $\angle B$) Внешний угол при вершине $B$ смежен с внутренним $\angle B$: $180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. **Ответ: 150**. 2. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. Третий угол равен $180^{\circ} - (36^{\circ} + 73^{\circ}) = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ}$. **Ответ: 71**. 3. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AC$ — основание) углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 32^{\circ}) / 2 = 148^{\circ} / 2 = 74^{\circ}$. $\triangle ADC$ равнобедренный ($AD=AC$), значит $\angle ADC = \angle ACD$. Внешний угол $\angle BAC$ для $\triangle ADC$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BAC = \angle ADC + \angle ACD = 2 \cdot \angle ADC$. $74^{\circ} = 2 \cdot \angle ADC \Rightarrow \angle ADC = 37^{\circ}$. **Ответ: 37**. 4. В $\triangle ABC$ угол $\angle ABC = 180^{\circ} - (34^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ}$. $\angle ABD$ — смежный с $\angle ABC$: $\angle ABD = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. $\triangle ABD$ равнобедренный ($AB=DB$), углы при основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle BDA = (180^{\circ} - 104^{\circ}) / 2 = 76^{\circ} / 2 = 38^{\circ}$. **Ответ: 38**. 5. Сумма углов $\triangle ABC$: $\angle ACB = 180^{\circ} - (46^{\circ} + 78^{\circ}) = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$. Биссектриса $CE$ делит угол $C$ пополам: $\angle BCE = \angle ACB / 2 = 56^{\circ} / 2 = 28^{\circ}$. **Ответ: 28**. 6. В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $BC$ медиана $AM$ является также высотой и биссектрисой. Значит, $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. $P_{ABC} = AB + AC + BC = 2AB + BC = 40$ см. $P_{ABM} = AB + BM + AM = AB + \frac{1}{2} BC + AM = 32$ см. Заметим, что $AB + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (2AB + BC) = \frac{1}{2} P_{ABC} = 40 / 2 = 20$ см. Тогда из периметра $ABM$: $20 + AM = 32 \Rightarrow AM = 12$ см. **Ответ: 12**.