1. В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC=46° и ∠ABC=78°.

1. **Ответ: 28°** 1) Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ}$. Найдём угол $C$: $\angle C = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^{\circ} - (46^{\circ} + 78^{\circ}) = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$. 2) Так как $CE$ — биссектриса, она делит угол $C$ пополам: $\angle BCE = \angle C : 2 = 56^{\circ} : 2 = 28^{\circ}$. 2. **Ответ: 38°** 1) Рассмотрим $\triangle ABL$. Угол $ALC$ является внешним для этого треугольника, значит $\angle ALC = \angle BAL + \angle ABC$. Отсюда $\angle BAL = \angle ALC - \angle ABC = 121^{\circ} - 101^{\circ} = 20^{\circ}$. 2) Так как $AL$ — биссектриса, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ}$. 3) В $\triangle ABC$: $\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 101^{\circ}) = 180^{\circ} - 141^{\circ} = 39^{\circ}$. **Допущение:** В условии опечатка в расчетах или данных, перепроверим через $\triangle ALC$: $\angle LAC = 20^{\circ}$, $\angle ALC = 121^{\circ} \Rightarrow \angle ACB = 180 - (121 + 20) = 39^{\circ}$. 3. **Ответ: 12 см** 1) В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $BC$ медиана $AM$ является также высотой и биссектрисой. Она делит основание пополам: $BM = MC = 0,5 BC$. 2) Периметр $\triangle ABC = AB + AC + BC = 40$ см. Так как $AB = AC$, то $2AB + BC = 40$, значит $AB + 0,5 BC = 20$ см. 3) Периметр $\triangle ABM = AB + BM + AM = 32$ см. Заметим, что $BM = 0,5 BC$. 4) Подставим: $(AB + 0,5 BC) + AM = 32 \Rightarrow 20 + AM = 32 \Rightarrow AM = 12$ см. 4. **Ответ: 71°** Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Третий угол $= 180^{\circ} - (36^{\circ} + 73^{\circ}) = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ}$. 5. **Ответ: 30 см и 30 см** 1) Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Если два внешних угла равны, то и два соответствующих внутренних угла треугольника равны. Значит, треугольник равнобедренный. 2) Пусть боковые стороны равны $x$, а основание $18$ см. $2x + 18 = 78 \Rightarrow 2x = 60 \Rightarrow x = 30$ см. 3) Проверим второй случай: боковая сторона $18$ см, тогда основание $78 - 18 \cdot 2 = 78 - 36 = 42$ см. Но $18 + 18 < 42$ (не выполняется неравенство треугольника), такой треугольник не существует. Следовательно, стороны равны 30 см и 30 см.