15-го декабря планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Какой долг будет 15-го числа 18-го месяца, если общая сумма выплат составит 1209 тысяч рублей?

Question

Вопрос:

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Какой долг будет 15-го числа 18-го месяца, если общая сумма выплат составит 1209 тысяч рублей?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 100 тысяч рублей.** **Дано:** - Срок кредита: $n = 19$ месяцев. - Процентная ставка: $k = 2\%$, коэффициент $r = 0,02$. - Условие 1-18 мес.: долг уменьшается равномерно на $d = 50$ тыс. руб. - Общая сумма выплат: $P = 1209$ тыс. руб. **Найти:** - Долг на 15-е число 18-го месяца ($S_{18}$). **Решение по схеме:** 1) **0 месяц 0 год (15 декабря):** Сумма кредита равна $S$. Так как за первые 18 месяцев долг уменьшается на 50 тыс. руб. ежемесячно, а к 19-му месяцу гасится полностью, то: $S = 18 \cdot 50 + S_{18} = 900 + S_{18}$. 2) **1 месяц 1 года (начисление процента):** Долг с процентами: $S \cdot (1 + r) = S + 0,02S$. 3) **Вычитаем из кредита с процентом сумму погашения:** Выплата в $i$-й месяц состоит из части основного долга и процентов на остаток: $x_i = (S_{i-1} - S_i) + r \cdot S_{i-1}$. Для первых 18 месяцев $S_{i-1} - S_i = 50$. Для 19-го месяца выплата $x_{19} = S_{18} + r \cdot S_{18}$. 4) **18 месяц 1 года (остаток после погашения части долга):** Нам нужно найти $S_{18}$. Воспользуемся формулой общей суммы выплат: $P = S + r \cdot (S_0 + S_1 + ... + S_{18})$ $1209 = S + 0,02 \cdot (S + (S-50) + (S-100) + ... + (S-850) + S_{18})$ Сумма арифметической прогрессии из 19 членов ($S_0$ до $S_{18}$): $\sum = \frac{S + S_{18}}{2} \cdot 19 = \frac{900 + S_{18} + S_{18}}{2} \cdot 19 = (450 + S_{18}) \cdot 19$ Подставляем в уравнение: $1209 = 900 + S_{18} + 0,02 \cdot (450 + S_{18}) \cdot 19$ $1209 = 900 + S_{18} + 0,38 \cdot (450 + S_{18})$ $309 = S_{18} + 171 + 0,38S_{18}$ $138 = 1,38S_{18}$ $S_{18} = 100$

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Какой долг будет 15-го числа 18-го месяца, если общая сумма выплат составит 1209 тысяч рублей?

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения